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Dm1 corrige - Aix-Marseille Universit ?e Topologie et fonctions de plusieurs variables Licence MPCI eme ann ?ee Corrig ?e du devoir maison convexit ?e Exercice a Si C est un sous-espace vectoriel il est stable par combinaisons lin ?eaires et en particulie

- Aix-Marseille Universit ?e Topologie et fonctions de plusieurs variables Licence MPCI eme ann ?ee Corrig ?e du devoir maison convexit ?e Exercice a Si C est un sous-espace vectoriel il est stable par combinaisons lin ?eaires et en particulier nous avons bien ??x y ?? C ??t ?? ?? t x ty ?? C b Soit I un intervalle de R et x y ?? I Quitte a ?echanger x et y on peut toujours supposer x ? y Pour tout t ?? on a x ? ?? t x ty ? y et donc ?? t x ty ?? x y Mais comme I est un intervalle il contient le segment x y ce qui prouve bien in ?ne que ?? t x ty ?? I a On suppose x y r et t ?x ?es comme dans l ? ?enonc ?e On prend alors un ?el ?ement quelconque de la boule ouverte B ?? t x ty r que l ? on ?ecrit ?? t x ty z avec z r On ?ecrit ce point sous la forme ?? t x ty z ?? t x z t y z et comme x z ?? B x r ? C et y z ?? B y r ? C et que C est convexe on en d ?eduit bien que ?? t x ty z ?? C On a bien montr ?e B ?? t x ty r ? C b Soient x y ?? C et t ?? Par d ?e ?nition de l ? int ?erieur il existe r r tels que B x r ? C et B y r ? C Si on pose maintenant r min r r on a bien B x r ? C et B y r ? C D ? apres la question pr ?ec ?edente on a B ?? t x ty r ? C ce qui montre que ?? t x ty ?? C On a donc bien montr ?e la convexit ?e de l ? int ?erieur de C Soient x y ?? C et t ?? Il s ? agit de montrer que ?? t x ty ?? C Par d ?e ?nition de l ? adh ?erence il existe deux suites xn n yn n d ? ?el ?ements de C qui convergent respectivement vers x et y Par convexit ?e de l ? ensemble C on a ??n ? ?? t xn tyn ?? C Les op ?erations ?el ?ementaires sur les suites montrent que la suite ?? t xn tyn n converge vers ?? t x ty On a donc bien montr ?e que ce dernier point est la limite d ? une suite d ? ?el ?ements de C et donc qu ? il appartient a C CExercice a Soit a ?? I On va montrer que f est continue a droite en a On montrerait de la m eme fac on qu ? elle est continuea gauche ce qui