Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ds3 va correction ECE Mathématiques DS version A novembre Exercice Partie I On note E R X l ? espace vectoriel des polynômes à coe ?cients réels de degré inférieur ou égal à Soit f l ? application dé ?nie sur E qui associe à tout polynôme P ?? E le polynô

ECE Mathématiques DS version A novembre Exercice Partie I On note E R X l ? espace vectoriel des polynômes à coe ?cients réels de degré inférieur ou égal à Soit f l ? application dé ?nie sur E qui associe à tout polynôme P ?? E le polynôme f P dé ?ni par f P X ?? X ?? X P X ?? ?? X X X P X Dans la suite on note B P P P la base canonique de R X Commentaire Dans les exercices la base canonique de R X est parfois directement notée X X C ? est une source fréquente d ? erreurs et confusions Il est donc fortement recommandée d ? introduire la base canonique sous la forme P P P si ce n ? est pas fait dans l ? énoncé et si la notation Pi n ? est pas utilisée par ailleurs Montrer que f est un endomorphisme de E Démonstration ? Démontrons que f est linéaire Soit ? ?? R et soit P Q ?? R X f ? P Q X ?? X ?? X ? P Q X ?? ?? X X X ? P Q X ?? X ?? X ? P Q X ?? ?? X X ? ? ? X ? P Q X par linéarité des applications dérivée première et seconde ? ?? X ?? X P X ?? X ?? X Q X ? ?? ?? X X X P X ?? ?? X ? X X Q X ? ?? X ?? X P X ?? ?? X X X P X ?? X ?? X ? Q X ?? ?? X X X Q X ? f P X f Q X ? f P f Q X L ? application f est donc linéaire ? Démontrons que f est à valeurs dans R X Soit P ?? R X ?? Comme deg P alors ? deg P donc deg ?? X ?? X P ? deg ?? ?? X X X Q On en déduit deg ?? X ?? X P X ?? ?? X ? X X P X CECE Mathématiques novembre Commentaire ? Rappelons tout d ? abord les propriétés à conna? tre concernant le degré des polynômes Si P et Q sont deux polynômes de R X alors deg P ? Q deg P deg Q deg P Q max deg P deg Q ? L ? argument de degré déroulé dans la démonstration ci-dessus permet généralement de conclure que f P est un polynôme de R X Ce n ? est malheureusement pas le cas ici et il faut donc faire une étude plus précise cf ci-dessous ?? Comme P ?? R X il existe a a a ?? R tel que P a P a P a P Notons R a P a P On a alors P R a P et par linéarité de f f R a P f R a f