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Endomorphisme Réduction des endomorphismes en dimension ?nie - Sommaire Exemples Réduction en dimension ?nie Polynôme caractéristique Diagonalisation Exemples Ordre de multiplicité Cas non diagonalisable Diagonalisation en dimension ?nie Diagonalisibilité

Réduction des endomorphismes en dimension ?nie - Sommaire Exemples Réduction en dimension ?nie Polynôme caractéristique Diagonalisation Exemples Ordre de multiplicité Cas non diagonalisable Diagonalisation en dimension ?nie Diagonalisibilité Polynôme scindé Trigonalisation Recherche d ? une base trigonalisante Cas d ? un endomorphisme nilpotent C N S de diagonalisibilité Matrice diagonale semblable Diagonalisibilité et diagonalisation Compléments Utilisation de la trace Matrice symétrique réelle Forme ultime en dimension Puissances de matrices Recherche pratique Diagonalisibilité Avec Maple Les mathématiciens du chapitre Le but de ce chapitre est pour un endomorphisme donné de rechercher une base dans laquelle son expression sera la plus simple possible ou de rechercher les conditions que doit véri ?er une telle base Pour une matrice donnée A le but est de trouver une matrice semblable à A qui soit la plus simple possible Réduction d ? un endomorphisme en dimension ?nie d ? une matrice E est un espace vectoriel sur K R ou C de dimension n n ?? N ? B est une base de E est un endomorphisme de E A est la matrice de dans la base B Polynôme caractéristique Dé ?nition On appelle polynôme caractéristique de ou de A le déterminant de ?? ? IdE ou de A ?? ?In noté P ? det ?? ? IdE PA ? det A ?? ? In Théorème P ? PA ? est un polynôme de degré n en ? Son terme de plus haut degré est ?? n ?n Son terme constant est det det A En pratique il se calcule par P ? PA ? det A ?? ? In o? A MB et In est la matrice idéntité Démonstration A ?? ? In est la matrice dans la base B de ?? ? IdE et comme un déterminant se calcule dans n ? importe quelle base on a P ? det A ?? ? In P ? a ?? ? a a an an n ?? a n an ?? n an n ?? ? a ?? ? ? ?? a ? ?? n an ? n Par récurrence ??a ? ?? n an ? n ne peut contenir de terme en ?n donc le terme de plus haut degré est celui de a ?? ? ? c ? est à dire celui de ?? ? ? Par récurrence c ? est donc ?? n ?n En ?n ? fournit le terme constant P det ?? IdE det Théorème Les racines sur K de P ? PA ? sont exactement les valeurs propres de ou de A Cours de Spé T S I c Christophe Caignaert ?? Lycée Colbert ?? Tourcoing ?? http c caignaert free fr C - Réduction des endomorphismes en dimension ?nie Démonstration Si ?i est valeur propre de ?? ?i IdE n ? est pas injective donc n ? est pas un isomorphisme et donc son déterminant est nul Réciproquement si det ?? ?i IdE ?? ?i IdE n ? est pas injective ker ?? ?i IdE et donc ?i