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Equipe pedagogique proba cours2 varalea

Chapitre Variables aléatoires Séances - et FSJES -Souissi Année universitaire - Groupes ? Equipe pédagogique ? C ? Dé ?nition d ? une variable aléatoire ? Loi d ? une variable aléatoire discrète ? Loi d ? une variable aléatoire continue ? Fonction d ? une variable ? Couples de variables aléatoires discrètes C Dé ?nition d ? une variable aléatoire Toute mesure d ? une grandeur dont les valeurs dépendent du hasard est dite variable aléatoire v a Elle est généralement notée X X est une application de S vers X S s X s CDé ?nition Une variable aléatoire est une variable qui prend une valeur déterminée pour chaque résultat d ? une épreuve aléatoire CExemple Considérons le jeu du hasard suivant On jette un dé Si on obtient un on gagne DH si on obtient on gagne DH si on obtient un ou un on perd DH Si on obtient un autre résultat on ne perd rien mais on ne gagne rien non plus Résultat gain - - Nous notons cette variable par X et ses valeurs X - CRemarques ? On peut distinguer entre les variables aléatoires quantitatives et les v a qualitatives Exemple d ? une v a qualitative Interroger des gens sortants d ? un supermarché sur leur CSP catégorie socio- professionnelle X ouvrier cadre moyen ? Exemple d ? une v a quantitative jeu du hasard de l ? Exp ?Souvent pour les v a quantitatives n ? ayant que deux valeurs possibles on utilise un codage On parle alors de v a de Bernoulli ou de v a indicatrice CVariable aléatoire discrète Les variables aléatoires discrètes sont celles qui ne prennent que des valeurs numériques isolées Autrement dit elle prennent un nombre ?ni de valeurs ou tout au plus un nombre in ?ni dénombrable de valeur par exemple X ? CVariable aléatoire continue Les variables aléatoires continues prennent leurs valeurs dans un ou plusieurs intervalles Par exemple la température le poids le revenu le rendement d ? un actif ?nancier C Loi d ? une variable aléatoire discrète Reprenons l ? exemple du jeu de dé et calculons la probabilité de gagner DH IP X IP obtenir un De même IP X - IP obtenir un ou un IP obtenir un IP obtenir un COn peut calculer ainsi les probabilités des autres gains X - IPX CDé ?nition La distribution de probabilité ou loi de la variable aléatoire discrète X est l ? ensemble des couples xi X xi pour toute valeur xi prise par la variable aléatoire Propriété Quelle que soit la v a discrète X la somme des probabilités associées à toutes les valeurs possibles est égale à ? IP X xi xi ? ??X ? CExercice reprenons l ? exemple du jeu de dé Calculer la probabilité d ? avoir un gain strictement positif X X X ou X X X CCaractéristiques d ? une v a discrète ? Fonction de répartition ? Espérance mathématique ? Variance ? L