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Mesure et integration Universite ? Pierre Marie Curie Paris Licence de Mathe ?matiques L UE LM Inte ?gration UE LM Inte ?gration Anne ?e ?? Th ?eorie de la Mesure et Int ?egration Responsable des cours Amaury LAMBERT Auteur du polycopi ?e Jean JACOD Infor

Universite ? Pierre Marie Curie Paris Licence de Mathe ?matiques L UE LM Inte ?gration UE LM Inte ?gration Anne ?e ?? Th ?eorie de la Mesure et Int ?egration Responsable des cours Amaury LAMBERT Auteur du polycopi ?e Jean JACOD Informations compl ?ementaires et nouvelle version actualis ?ee du polycopi ?e sp ?eci ?que a l ? UE LM http www proba jussieu fr pageperso amaury index htm CTable des mati eres Rappels sur les ensembles Th ?eorie de la mesure et th ?eorie de l ? int ?egration La classe des ensembles mesurables Les mesures La mesure de Lebesgue Les fonctions mesurables L ? int ?egrale des fonctions mesurables L ? int ?egrale des fonctions a valeurs complexes L ? int ?egrale par rapport a la mesure de Lebesgue Ensembles n ?egligeables et compl ?etion de tribus Th ?eor eme de convergence domin ?ee la version d ?e ?nitive Les mesures avec densit ?e Les fonctions int ?egrables au sens de Riemann Quelques r ?esultats d ? unicit ?e Produit d ? espaces mesurables Produit de mesures La formule de changement de variable Le produit de convolution Les d ?e ?nitions Les espaces Lp pour ? p ? ? L ? espace L et les espaces de Hilbert C Le th ?eor eme de Radon-Nikodym La dualit ?e des espaces Lp D ?e ?nition et propri ?et ?es ?el ?ementaires Injectivit ?e et formule d ? inversion Quelques r ?esultats de densit ?e La transform ?ee de Fourier dans L CCHAPITRE Introduction - La notion de mesure Rappels sur les ensembles Consid ?erons un ensemble E c ? est-a-dire une collection d ? objets appel ?es les ?? ?el ?ements ? ou les ??points ? de E L ? appartenance d ? un point x a l ? ensemble E est not ?ee x ?? E et x ?? E signi ?e que le point x n ? appartient pas a E Une partie de E est aussi un ensemble appel ?e sous-ensemble de E on ?ecrit F ? E on dit aussi que F est ??inclus ? dans E lorsque F est un sous- ensemble de E Rappelons les op ?erations ?el ?ementaires sur les parties d ? un ensemble Intersection A ?? B est l ? intersection des ensembles A et B i e l ? ensemble des points appartenanta la fois aA eta B R ?eunion A ?? B est la r ?eunion des ensembles A et B i e l ? ensemble des points appartenant aau moins l ? un de ces deux ensembles Compl ?ementaire Si A ? E son compl ?ementaire dans E est l ? ensemble des points de E n ? appartenant pasa A on le note Ac ou parfois E A Di ? ?erence sym ?etrique A ? B est l ? ensemble des points appartenant a l ? un des deux ensembles A ou B mais pas aux deux on a donc A ? B A A ??