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Notes math info 2 ag 2020 sets relations 2

UNC L Info Mathématiques pour l ? Informatique A Giannakos Relations A Fonctions Relations d ? Equivalence Introduction Les notions de base pour dé ?nir des structures c ? est-à-dire des relations entre éléments d ? ensembles et entre ensembles ont été développées dans des ordres d ? exposé di ?érents selon l ? auteur Ainsi d ? autres auteurs dé ?nissent d ? abord d ? autres notions comme primordiaux et à travers ces premières dé ?nitions chacun considère des notions di ?érentes comme dérivées des primordiaux certains commencent par dé ?nir le concept fondamental du morphisme ensuite celui de la fonction comme cas spécial de morphisme ensuite le produit cartésien et ?nalement le couple ordonné Dans le cadre de cet exposé nous faisons l ? inverse d ? abord nous introduisons la notion du couple ordonné d ? o? découle la dé ?nition du produit cartésien et de correspondance dont les applications fonctions sont des cas spéciaux et les relations binaires encore comme cas des correspondances dont les relations d ? équivalence et les ordres voir la prochaine feuille sont davantage des cas spéciaux tandis que la notion de morphisme ne va pas nous préoccuper Nous admettons sans expliciter les axiomes ZFC pour la théorie des ensembles voir feuille précédent Généralités Couple ordonné Soient a b deux éléments d ? un ensemble X Alors l ? ensemble a a b est appelé couple ordonné de a et b et il est noté a b a est le premier élément du couple ordonné a b ?? couple a b s ? il n ? y a pas risque de confusion ?? et b est son deuxième élément Evidemment si a b alors a b b a et a b c d ?? a c et b d On peut généraliser la notion du couple ordonné à celle de nuplette pour n a an a a an Produit cartésien Soient deux ensembles A B On appelle produit cartésien de A et B et on le note A ? B l ? ensemble contenant tous les couples ordonnés qui peuvent être formés avec un premier élément appartenant à A et un deuxième appartenant à B A ? B a b a ?? A b ?? B k Notons que A ? B B ? A et que Ai désigne l ? ensemble des kuplettes dont le premier élément vient de i A etc et le k ??ème de Ak Correspondance relation binaire Soient deux ensembles A B Une correspondance C de A à B est un sous-ensemble de leur produit cartésien C ? A ? B Si A B alors R ? A ? A s ? appelle relation binaire dans A A ? A est souvent noté aussi A C Application fonction Une correspondance F de A à B telle que a tout élément de A se trouve comme premier élément d ? un couple de F et b a b ?? F et a c ?? F ?? b