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Produit de kronecker enonce

Lycée Ibn Timiya Devoir Surveillé N MATHÉMATIQUES Durée H Attention ? Les di ?érents parties de l ? épreuve doivent se rédiger sur des feuilles de composition séparées ? Il est strictement interdit de quitter la salle pendant le déroulement du DS ? Il est strictement interdit d ? emprunter des accessoires de votre collègue ? Garder le silence complet dans la salle Informations ? Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l ? appréciation des copies Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées ? Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre CDevoir surveillé n Soient A B ?? E Mn R Soit fA B l ? endomorphisme de E dé ?ni par fA B E ?? ? E M ?? ? AM ?? M B On rappelle que ? K désigne R ou C ? SpK A désigne le spectre de A dans K ? SpK fA B désigne le spectre de fA B dans K ? Ei j i j n la base canonique de Mn K ? Pour tout i j k ?? n on a Ei j ? Ek ?j kEi avec ? est le symbole de Kronecker Partie I Diagonalisation de fA B Énoncé Montrer que B est diagonalisable si et seulement si t B l ? est Montrer que l ? application fA B est linéaire a Montrer que si X est un vecteur propre de A et Y un vecteur propre de t B alors Xt Y est un vecteur propre de fA B b En déduire l ? inclusion ? ?? ? ?? Sp A ? Sp B ? Sp fA B Soit ?? Sp fA B et M un vecteur propre de fA B associé à la valeur propre a Montrer que pour tout entier naturel k AkM M In B k b En déduire que pour tout polynôme P ?? K X on a P A M M P B In c On suppose que le polynôme caractéristique ?A de A est scindé sur K et s ? écrit ?A X ?? ? m ? ? ??Sp A i Montrer que M ?A B In et en déduire que la matrice ?A B In n ? est pas inversible ii En déduire qu ? il existe a ?? SpK A tel que la matrice B ?? a ?? In ne soit pas inversible Conclure que si le polynôme ?A est scindé sur K alors Sp fA B ? ? ?? ? ?? Sp A ? Sp B Applications On suppose dans cette question que K C a Montrer que fA B est nilpotent si et seulement s ? il