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Rappels 2012 Rappels utiles au cours de statistique mathématique O Wintenberger C Les résultats d ? algèbre linéaire et de probabilités présentés ici sont utiles à la compréhension des méthodes développées dans le cours de statistique mathématique Dans ce

Rappels utiles au cours de statistique mathématique O Wintenberger C Les résultats d ? algèbre linéaire et de probabilités présentés ici sont utiles à la compréhension des méthodes développées dans le cours de statistique mathématique Dans ce fascicule sont rappelé des résultats connus et un résultat probabiliste nouveau le théorème de Cochran Ce théorème sera détaillé durant le cours magistral de statistique mathématique et non dans le polycopié de ce cours Je remercie Jean Marc Bardet et Vincent Rivoirard pour avoir mis à ma disposition leurs notes de cours CChapitre Rappels d ? algèbre linéaire Ce premier chapitre a pour objet de rappeler les principaux éléments d ? algèbre linéaire nécessaires pour l ? étude des méthodes développées dans le cours de statistique mathématique Rappels généraux sur les matrices On ne considère que des matrices réelles Pour toute matrice A on note AT la matrice transposée de A On note I la matrice identité Proposition Si A et B sont deux matrices telles que le nombre de colonnes de B correspond au nombre de lignes de A on a AB T BT AT Dé ?nition On dit qu ? une matrice carrée A est inversible s ? il existe une matrice B telle que AB BA I Dans ce cas on note B A ?? Proposition Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det A Dans ce cas on a A ?? A ?T det A o? A ? est la comatrice de A Par ailleurs si A et B sont deux matrices inversibles de même taille AB ?? B ?? A ?? Dé ?nition Soit A une matrice carrée ? est une valeur propre de A si et seulement si det A ?? ?I Un vecteur propre associé à la valeur propre ? est un vecteur x non nul satisfaisant Ax ?x C CHAPITRE RAPPELS D ? ALGÈBRE LINÉAIRE Dé ?nition Soit A une matrice Le rang de A est la plus petite des dimensions des deux sous-espaces engendrés par les lignes et par les colonnes de A Proposition Soit A une matrice possédant n lignes et p colonnes On a ? rang A ? min n p rang A rang AT rang A dim Ker A p formule du rang rang AAT rang AT A rang A pour p ? n si rang A p ? ?? A injective alors AT A est inversible pour B matrice de p lignes et q colonnes rang AB ? min rang A rang B Dé ?nition Soit A une matrice carrée On note n le nombre de ses lignes ou de ses colonnes La trace de A est dé ?nie par n T r A Aii i Proposition Soient A et B deux matrices carrées de taille n ? n On a T r A B T r A T r B T r AB T r BA T r AAT T r AT A n i det AB det A det B n j ai j Matrices