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Devoir de revision n05 lycee pilote avec correction math bac mathematiques 2015 2016 mr amine touati

Classe de TS janvier Devoir de Sp ?ecialit ?e Math ?ematiques N o heure Les cinq questions sont ind ?ependantes Pour chaque question une a ?rmation est propos ?ee Indiquer si elle est vraie ou fausse en justi ?ant la r ?eponse Une r ?eponse non justi ? ?ee ne sera pas prise en compte Toute justi ?cation complete sera valoris ?ee Question On considere l ? ?equation E x y oux et y sont des entiers relatifs A ?rmation Les seuls couples solutions de E sont les couples k ?? ?? k avec k appartenanta l ? ensemble Z des entiers relatifs Question On considere l ? entier N A ?rmation L ? entier N est congru a modulo Question a et b sont deux entiers relatifs quelconques n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux A ?rmation a ?? b p si et seulement si na ?? nb p Question A ?rmation Si un entier naturel n est congru a modulo alors le PGCD de n et de n est ?egal a Question Soient a et b deux entiers naturels A ?rmation S ? il existe deux entiers relatifs u et v tels que au bv alors le PGCD de a et b est ?egal a On considere l ? ensemble A a Pour tout ?el ?ement a de A ?ecrire dans le tableau ?gurant en annexe l ? unique ?el ?ement y de A tel que ay ?? modulo b Pour x entier relatif d ?emontrer que l ? ?equation x ?? modulo ?equivaut a x ?? modulo c Si a est un ?el ?ement de A montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l ? ?equation ax ?? modulo sont les multiples de Dans toute cette question p est un nombre premier sup ?erieur ou ?egal a On considere l ? ensemble Ap p ?? des entiers naturels non nuls et strictement inf ?erieurs a p Soit a un ?el ?ement de Ap a V ?eri ?er que ap ?? est une solution de l ? ?equation ax ?? modulo p b On note r le reste dans la division euclidienne de ap ?? par p D ?emontrer que r est l ? unique solution x dans Ap de l ? ?equation ax ?? modulo p c Soient x et y deux entiers relatifs D ?emontrer que xy ?? modulo p si et seulement si x est un multiple de p ou y est un multiple de p d Application p R ?esoudre dans A les ?equations x ?? modulo et x ?? modulo A l ? aide des r ?esultats pr ?ec ?edents r ?esoudre dans Z l ? ?equation x ?? x ?? modulo C C C C C