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Arithmetique cours 1 Chapitre Arithmétique Sommaire I Divisibilité La propriété fondamentale La division euclidienne Congruences Diviseurs communs II Éléments premiers entre eux Théorème de Bézout Conséquences III Le plus grand diviseur commun Dé ?nition

Chapitre Arithmétique Sommaire I Divisibilité La propriété fondamentale La division euclidienne Congruences Diviseurs communs II Éléments premiers entre eux Théorème de Bézout Conséquences III Le plus grand diviseur commun Dé ?nition Propriétés Généralisation IV Le plus petit multiple commun Dé ?nition Propriétés V Nombres premiers décomposition Dé ?nition Décomposition en facteurs premiers Notion de valuation p-adique Applications VI Solution des exercices I DIVISIBILITÉ La propriété fondamentale Théorème Toute partie de Z non vide et minorée admet un plus petit élément Preuve Soit A une partie de Z non vide et minorée par un entier n Soit M l ? ensemble des minorants de A on a n ?? M supposons que n ?? M ?? n ?? M alors d ? après le principe de récurrence ?? n ?? Z n n ?? n ?? M Soit p ?? A p n donc p ?? M ce qui entra? ne que p p absurde donc il existe un entier n tel que n ?? M et n ?? M mais alors il existe un élément p de A tel que p n d ? o? n p n ce qui entra? ne p n et donc n ?? A nécessairement n est le plus petit élément de A À retenir ? Toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément En e ?et si A est non vide majorée alors ??A ??a a ?? A est non vide minorée donc ??A admet un plus petit élément ??n ce qui signi ?e que n est le plus grand élément de A ? Toute partie non vide de N admet un plus petit élément propriété fondamentale de N MPSI - LYCÉE MONTAIGNE ?? ?? ?Fradin Patrick ?? CDivisibilité La division euclidienne Chapitre Arithmétique Théorème Soient a ?? Z et b ?? Z ? il existe un unique couple d ? entiers q r tel que a bq r avec est appelé le quotient et r le reste r b q Preuve Supposons b soit B b n n ?? Z alors B est non majoré et non minoré donc il existe un entier n tel que a b n et il existe un entier n tel que b n a Soit A n ?? Z a b n alors A est non vide n ?? A et minoré par n donc A admet un plus petit élément q d ? o? bq a b q en posant r a ?? bq on a a bq r et r b b Supposons b on applique ce qui précède à ??b il existe un entier q et un entier r tels que a ??b q r b ??q r avec r ??b b Montrons l ? unicité si a bq r bq r avec r b et r b alors r ?? r bq ?? bq b q ?? q b d ? o? q q ce sont des entiers et donc r r Dé ?nition Soient a b ??