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Chapitre 01integrales multiples

Chapitre Intégrales multiples Introduction Les intégrales multiples constituent la généralisation des intégrales dites simples c'est-à- dire les intégrales d ? une fonction d ? une seule variable réelle On s ? attache ici à la généralisation à des fonctions dont le nombre de variables est plus important deux ou trois Rappelons qu ? une fonction réelle dé ?nie sur un intervalle a b est dite Riemann intégrable si on peut l ? encadrer entre deux fonctions en escalier d ? o? toute fonction continue est intégrable L ? intégrale de sur notée est interprétée comme l ? aire comprise entre le graphe de l ? axe X ? oX et les droites d ? équations En subdivisant en n sous intervalles de même longueur on dé ?nit l ? intégrale de sur par I Intégrales doubles Principe de l ? intégrale double sur un rectangle Soit la fonction réelle des deux variables x et y continue sur un rectangle de Sa représentation est une surface S dans l ? espace muni du repère Analyse A-U - Page COn partage D en sous-rectangles dans chaque sous-rectangle M x y et on calcule l ? image de x y pour la fonction f on choisit un point La somme des volumes des colonnes dont la base est des sous-rectangles et la hauteur f x y est une approximation du volume compris entre le plan Z et la surface S Lorsque le quadrillage devient su ?samment ?n ? pour que la diagonale de chaque sous-rectangle tende vers ce volume sera la limite des sommes de Riemann et on le note Exemple En utilisant la dé ?nition calculer Remarques ? A priori l ? intégrale double est faite pour calculer des volumes de même que l ? intégrale simple était faite pour calculer une aire ? Dans une intégrale double les bornes en x et y doivent toujours être rangées en ordre croissant Théorème Soit D un domaine borné de Alors toute fonction continue est intégrable au sens de Riemann Analyse A-U - Page C Propriétés des intégrales doubles L ? intégrale double sur un domaine D est linéaire Si D et D ? sont deux domaines tels que alors Si en tout point de D avec f non identiquement nulle alors strictement positive Si Formules de Fubini Théorème Soit f une fonction continue sur un rectangle est Nous avons Nous calculons donc une intégrale double sur un rectangle en calculant deux intégrales simples En intégrant d ? abord par rapport à x entre a et b en laissant y constante Le résultat est une fonction de y En intégrant cette expression de y entre c et d Alternativement on peut faire de même en intégrant d ? abord en y puis ensuite en x Exemple Calcul de D ? après Fubini on a Dans cette exemple x et y jouent le même rôle Exemple Calcul de Calculons Cas particulier Si et Exemple Calculer l ? intégrale sont deux fonctions continues alors Analyse A-U