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Chapitre1 beamer Outils Mathématiques - Chapitre I Dérivation complexe et fonctions holomorphes Laurent Poinsot LIPN UMR CNRS Université Paris XIII École de l ? Air CTable des matières Objectifs et plan du cours Dérivation complexe et holomorphie Première

Outils Mathématiques - Chapitre I Dérivation complexe et fonctions holomorphes Laurent Poinsot LIPN UMR CNRS Université Paris XIII École de l ? Air CTable des matières Objectifs et plan du cours Dérivation complexe et holomorphie Premières conséquences Exemples de fonctions holomorphes Dérivée complexe et di ?érentielle Fonctions harmoniques quelques notions étudiées en détail en td CObjectifs Le but de ce cours est de présenter les bases de l ? analyse complexe qui seront utiles pour l ? aérodynamique et la mécanique des uides la résolution d ? équations di ?érentielles par exemple les équations de di ?usion de la chaleur le traitement et l ? analyse du signal décomposition fréquentielle des signaux essentiellement pour les radars CPlan du cours ? Chap I Dérivation complexe et fonctions holomorphes ? Chap II Fonctions analytiques et exemples classiques ? Chap III Intégrales curvilignes et primitives ? Chap IV Résidus et applications ? Chap V Transformée de Laplace ? Chap VI Transformée de Fourier ? Chap VII Transformée en Z CTable des matières Objectifs et plan du cours Dérivation complexe et holomorphie Premières conséquences Exemples de fonctions holomorphes Dérivée complexe et di ?érentielle Fonctions harmoniques quelques notions étudiées en détail en td CTopologie du plan complexe Rappelons que le plan complexe C vu comme un R-espace vectoriel est isomorphe à R une base la ??base canonique ? est donnée par i Une bijection est donnée par x y ? x iy et sa fonction réciproque z ? z z Par ailleurs le module z z z induit une distance d z z z ?? z qui fait de C un espace métrique On note pour z ?? C et R ?? ? D z R z z ?? z R le disque ouvert centré en z et de rayon R avec D z ? C par convention et D z R z z ?? z ? R le disque fermé En tant qu ? espaces métriques C et R avec la distance euclidienne habituelle sont homéomorphes Dans la suite les termes d ? ouverts fermés voisinages adhérence frontière feront réfèrence à la métrique de C U désigne un ouvert quelconque de C CDé ?nition Fonction holomorphe Soit f U ? C une fonction complexe Pour z ?? U si lim f z ?? f z z ?z z ?? z existe alors on note f z cette limite que l ? on appelle le nombre dérivé de f en z Si f z existe pour tout z ?? U alors la fonction f est dite holomorphe dans U Et f est dite holomorphe en z s ? il existe un voisinage de z dans lequel f est holomorphe Une fonction holomorphe dans C tout entier est appelée fonction entière CEn détail Dire que f z existe revient à demander que pour tout r tel que f z ?? f z ?? f z ?? z z pour tout z ?? D z r z ? U il existe Dans ce cas on dit aussi