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Cours analyse 3 RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE POLYCOPIÉ DE COURS Éléments d'analyse mathématique Mohamed BOUKELOUA École Nationale Polytechnique de Constantine Abdelha

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE POLYCOPIÉ DE COURS Éléments d'analyse mathématique Mohamed BOUKELOUA École Nationale Polytechnique de Constantine Abdelhak BERKANE Département de mathématiques Université les Frères Mentouri Constantine Année CTable des matières Introduction Intégrales multiples Intégrales doubles R Notions de topologie sur Intégrale double sur un domaine fermé Intégrale double généralisée Propriétés de l'intégrale double Théorème de Fubini Formule de changement de variable Quelques applications de l'intégrale double Intégrales triples Intégrale triple sur un domaine spatial fermé Formule de Changement de variable Quelques applications de l'intégrale triple Exercices Analyse vectorielle B Opérateurs di érentiels Champs de scalaires et champs de vecteurs Gradient Divergence Rotationnel Laplacien Potentiels scalaires et potentiels vecteurs Intégrales curvilignes Courbes paramétrées Intégrale curviligne d'un champ de scalaires Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs Circulation et travail Formule de Green Conditions pour qu'une intégrale curviligne ne dépende pas du chemin d'intégration C Intégrales de surface Surfaces paramétrées Intégrale de surface d'un champ de scalaires Intégrale de surface d'un champ de vecteurs Formule de Stokes Formule d'Ostrogradsky Exercices Séries numériques Généralités Séries numériques à termes positifs E Condition nécessaire et su sante de convergence Règle de Cauchy Règle de D'Alembert Critère intégral de Cauchy Critère de comparaison Règle d'équivalence Séries à termes quelconques Séries absolument convergentes Séries alternées Critère d'Abel Exercices Suites et séries de fonctions Suites de fonctions Convergence simple et convergence uniforme Régularité de la limite d'une suite de fonctions Séries de fonctions Modes de convergence d'une série de fonctions Régularité de la somme d'une série de fonctions Exercices Séries entières Notions de base Régularité de la somme d'une série entière Convergence normale d'une série entière Continuité Intégration terme à terme Dérivation terme à terme Développement en série entière B Résolution d'équations di érentielles Exercices CIntroduction Ce cours d'analyse mathématique est destiné aux étudiants de deuxième année des classes préparatoires aux écoles d'ingénieurs des troncs communs des sciences et technologie et des sciences de la matière de même qu'aux étudiants préparant une licence en mathématiques Il fournit des éléments de base en analyse indispensables pour la formation de ces étudiants Il est axé sur trois volets principaux les intégrales multiples l'analyse vectorielle et les séries Dans le premier volet nous étudions les intégrales doubles et triples en insistant beaucoup plus sur l'aspect calculatoire Nous donnons deux résultats principaux dans ce cadre à savoir le théorème de Fubini et la formule de changement de variable et nous terminons par quelques applications en physique notamment la détermination du centre de gravité et le calcul du moment d'inertie Le deuxième volet à savoir l'analyse vectorielle représente une partie très importante de la physique mathématique Après une introduction des B opérateurs di érentiels basiques dans ce cadre nous étudions les intégrales curvilignes et les intégrales de surface Ces notions sont souvent rencontrés D en physique dans le calcul de travail et de ux des champs vectoriels Quant au troisième volet il s'étale sur trois chapitres Dans le premier nous étudions les séries