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Derivee directionnelle Dérivée directionnelle Un article de Wikipédia l'encyclopédie libre Aller à Navigation rechercher En analyse mathématique la notion de dérivée directionnelle permet de quanti ?er la variation locale d'une fonction dépendant de plusi

Dérivée directionnelle Un article de Wikipédia l'encyclopédie libre Aller à Navigation rechercher En analyse mathématique la notion de dérivée directionnelle permet de quanti ?er la variation locale d'une fonction dépendant de plusieurs variables en un point donné et le long d'une direction donnée dans l'espace de ces variables Dans la version la plus simple la dérivée directionnelle généralise la notion de dérivées partielles dans le sens o? l'on retrouve ces dernières en prenant comme directions de dérivation les axes de coordonnées Le concept de dérivée directionnelle est fondamental en analyse Il est parfois le point de départ pour dé ?nir la dérivée d'une fonction qui décrit comment sa valeur est modi ?ée lorsque ses arguments varient de manière in ?nitésimale mais arbitrairement et non plus le long d'une direction pré ?xée la dérivée au sens de G? teaux est dé ?nie de cette manière mais aussi le sous-di ?érentiel d'une fonction convexe et le sous- di ?érentiel de Clarke d'une fonction lipschitzienne C'est aussi un concept précieux pour obtenir des conditions nécessaires d'optimalité en optimisation On comprend alors pourquoi l'on a introduit de multiples de notions de dérivée directionnelle qui sont plus ou moins bien adaptées à la régularité i e au caractère lisse de la fonction étudiée et dont l'utilité et le domaine d'application dépendent de leurs propriétés Les développements sont très ra ?nés et se poursuivent l'étude des liens entre eux mériterait une monographie Nous nous contenterons ici de donner les principales dé ?nitions en commençant par les plus familières et les plus simples Sommaire masquer Fonction dé ?nie sur un espace vectoriel o Dérivée partielle suivant un vecteur ? Dé ?nition ? Cas d'une fonction di ?érentiable ? Interprétation géométrique o Dérivée directionnelle au sens de Dini ? Dé ?nition ? G? teaux di ?érentiabilité ? Fonction ayant des valeurs in ?nies o Dérivée directionnelle au sens de Hadamard o Dérivée directionnelle au sens de Clarke ? Dé ?nition C ? Di ?érentiabilité stricte Fonction dé ?nie sur une variété o Dé ?nition o Extension dérivée de Lie Annexes o Notes o Articles connexes Fonction dé ?nie sur un espace vectoriel modi ?er Dérivée partielle suivant un vecteur modi ?er Dé ?nition modi ?er On donnera la quali ?cation de points aux éléments de U et de vecteurs aux éléments de E les raisons en seront détaillées au-dessous Soient E un espace vectoriel normé U un ouvert de E f une fonction dé ?nie sur U à valeurs dans un espace vectoriel normé F ou plus généralement un espace vectoriel topologique séparé u un point de U et h un vecteur de E La dérivée de f au point u suivant le vecteur h est si elle existe la dérivée en de la fonction de la variable réelle Si h est le vecteur nul cette dérivée directionnelle existe toujours et a une valeur nulle On pourra supposer que h n'est pas le vecteur nul dans ce qui suit Lorsque l'espace E est de dimension ?nie n et