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Divisibilite et congruences cours de maths en terminale s specialite

Cours de maths en terminale S Divisibilité et congruences cours de maths en terminale S spécialité I Divisibilité et division euclidienne Divisibilité dans Z Dé ?nition a et b sont deux entiers relatifs a kb Dire que b divise a signi ?e qu'il existe un entier k tel que Vocabulaire on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b On traduit aussi cette dé ?nition en disant que a est un multiple de b Exemple - - x x - donc - et - divisent - Les diviseurs dans du chi ?re sont - - - - Remarque et - tout entier relatif n car xn - x -n n Propriétés de la divisibilité Comparaison a et b sont deux entiers relatifs il résulte de la dé ?nition que Si b divise a alors - b divise a Si b divise a et si alors Téléchargé depuis https www mathovore fr CThéorème a et b sont deux entiers relatifs non nuls Si a divise b et b divise a alors a b ou a - b Transitivité Théorème a b et c sont trois entiers relatifs Si a divise b et b divise c alors a divise c Divisibilité d'une combinaison linéaire Théorème a b d sont trois entiers relatifs Si d divise a et b alors d divise tout entier ma nb En particulier d divise leur somme a b et leur di ?érence a-b Preuve Par hypothèses on peut écrire a dk et b dk' avec k et k' entiers ma nb mdk ndk' mk nk' d avec mk nk' entiers donc d divise ma nb La division euclidienne dans N Théorème a et b sont deux entiers naturels et b est non nul Il existe un couple unique q r d'entiers naturels tel que et Dé ?nition a et b sont deux entiers naturels E ?ectuer la division euclidienne dans de a par b c'est déterminer le couple d'entiers naturels q r tel que et CVocabulaire a est le dividende b est le diviseur q est le quotient et r est le reste Conséquence b divise a si et seulement si dans la division de a par b le reste est nul La division euclidienne dans Z Théorème admis a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul Alors il existe un unique couple q r tel que q entier relatif et r entier naturel tel que et Exemple a - b - - - x - Pour obtenir un reste positif on écrit - - x - - - x Ainsi q et r II Congruences Entiers congrus modulo m Dé ?nition m est un entier naturel non nul Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signi ?e qu'ils ont le même reste dans la division euclidienne par m Notation On écrit Exemples et On lit a est congru à b modulo m Théorème Téléchargé depuis https www mathovore fr Cm