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Jeu de marienbad Jeu de Marienbad Le jeu de Marienbad a été popularisé par le ?lm d'Alain Resnais et d'Alain Robbe-Grillet L'Année dernière à Marienbad en Ce jeu de société combinatoire abstrait dont il existe plusieurs variantes se joue avec des graines

Jeu de Marienbad Le jeu de Marienbad a été popularisé par le ?lm d'Alain Resnais et d'Alain Robbe-Grillet L'Année dernière à Marienbad en Ce jeu de société combinatoire abstrait dont il existe plusieurs variantes se joue avec des graines des dominos des jetons des cartes des allumettes Son origine est probablement très ancienne Il appartient à la famille plus large des jeux de Nim Cette variante a été rendue célèbre par le ?lm d'Alain Resnais au point d'en prendre le nom Dans ce ?lm l'un des protagonistes gagne parties sur parties Il prononce cette phrase à la portée symbolique Je peux perdre mais je gagne toujours Dans la version du ?lm il y a quatre rangées avec respectivement allumettes et celui qui prend la dernière allumette perd À chaque tour le joueur prend le nombre d'allumettes qu'il veut au moins une et dans une même rangée Dans une autre variante le gagnant est celui qui prend la dernière allumette Sommaire Stratégie gagnante Démonstration Jeu par arrangement Bibliographie Références Voir aussi Liens externes Stratégie gagnante La méthode repose sur le système binaire La position de départ précisée par le dessin ci-contre s'analyse à l'aide des calculs suivants en binaire Si on e ?ectue les sommes des chi ?res du binaire colonne par colonne en base dix on trouve S Considérons d'abord la variante o? le gagnant est celui qui prend la dernière allumette Selon le théorème d d l l l l h ? Cde Sprague-Grundy une position est gagnante pour le joueur qui l'atteint si et seulement si tous les chi ?res de S sont pairs Une telle position sera perdante pour le joueur qui part d'une telle position Ainsi dans l'exemple donné la position initiale est perdante pour le premier joueur son adversaire ayant la possibilité de conserver cette propriété de S tout le long de la partie jusqu'à ce qu'il ne reste plus d'allumette Une démonstration directe de ce résultat est donnée ci-dessous Dans le cas o? celui qui prend la dernière allumette est le perdant la stratégie est la même jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des lignes ayant une allumette situation à partir de laquelle il convient de laisser à son adversaire un nombre impair de telles lignes Démonstration La démonstration de la stratégie optimale a été faite par Charles Bouton dans les annales de mathématiques en Théorème Dans un jeu de Nim le joueur jouant en premier a une stratégie gagnante si et seulement si la somme nim des piles est di ?érente de zéro Sinon le second joueur a une stratégie gagnante Démonstration La loi de composition XOR ? est associative et commutative et véri ?e également x ? x en termes mathématiques l'ensemble des nombres naturels munis de ? est un groupe abélien dont chaque élément non nul est d'ordre Soit x xn les tailles de chaque pile avant un coup et y yn les tailles de ces mêmes piles après le coup Soit s x ? ? xn et t y