Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Mines 2007 serie A MATH I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L ? AÉRONAUTIQUE ET DE L ? ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DES MINES DE PARIS DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE DES MINES DE NANCY DES TÉLÉC

A MATH I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L ? AÉRONAUTIQUE ET DE L ? ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DES MINES DE PARIS DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE DES MINES DE NANCY DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Filière TSI CONCOURS D ? ADMISSION PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP Durée de l ? épreuve heures L ? usage d ? ordinateur ou de calculette est interdit Sujet mis à la disposition des concours ENSAE Statistique ENSTIM INT TPE-EIVP Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES I - MP L ? énoncé de cette épreuve comporte pages de texte Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre CSéries et caractères Dans tout le problème N désigne l ? ensemble des entiers Z l ? ensemble des entiers relatifs et N un entier supérieur ou égal à L ? ensemble des classes d ? équivalence pour la division euclidienne par N est noté Z N Z L ? élément générique de cet anneau sera noté a On note P l ? ensemble des éléments de N ?? qui sont premiers avec N L ? ensemble des éléments inversibles pour la multiplication de Z N Z est noté Z N Z ? On rappelle que l ? indicatrice d ? Euler est telle que N représente le cardinal de P Si a divise b dans Z on notera a b On rappelle aussi le lemme suivant soit uk k ?? N ? et k k ?? N ? deux suites réelles Si pour tout entier n ? on pose n Tn k k alors m m ?? kuk ??unTn ?? Tk uk ?? uk ?? umTm k n k n pour n m entiers tels que ? n m On rappelle que pour tout x ?? ?? arctan x ? ?? n x n n n On suppose ?xée une application ? de Z dans R qui satisfait les propriétés suivantes A ? et ? non identiquement nul B Pour tout a ?? Z non premier avec N ? a C Pour tous les entiers relatifs a et b ? ab ? a ? b D ? est N -périodique ? a N ? a pour tout a ?? Z CI Cas particuliers Calculer ? Lorsque N déterminer ? On suppose jusqu ? à la ?n de cette partie que N Montrer que ? ne peut prendre que les valeurs ou ?? On suppose maintenant que ? ?? Montrer la convergence et calculer la valeur de la série ? ? n n n ? II Convergence de la série ? n n Dans cette partie a est un entier supérieur ou égal à et premier avec N Pour