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Mlr raisonnement par analyse synthese

Raisonnement par analyse-synthèse N Jacquet V Bansaye Niveau E Terminale Di culté Durée h à h Rubrique s Analyse étude de fonctions dérivation équations Logique analyse- synthèse Dans les classes du secondaire vous ne cessez de raisonner en mathématiques raisonnement par l'absurde par contraposée par récurrence etc Cet atelier va vous permettre de comprendre un type très utile de raisonnement l'analyse-synthèse mais en fait vous l'avez déjà utilisé sans le savoir dans de nombreuses démonstrations et parfois cela a-t-il pu vous être reproché La petite histoire ves m thém tiques ont el de m gique que l on peut p rtir du résult t pour remonter à l solutionF h ns et telierD nous C donnons quelques exemplesF Monsieur et Madame Synthèse ont deux lles B Exercice Jeu de Nim Deux joueurs s'a rontent sur le jeu suivant Ils disent chacun leur tour un nombre entre et Les nombres sont additionnés C et dès que le cumul des nombres qu'ils ont proposés vaut le jeu est ni Le joueur qui a atteint et a donc parlé en dernier gagne Comment jouer Exercice Décomposition d'une fonction réelle L'exercice consiste à montrer que toute fonction réelle est somme d'une fonction paire et d'une C fonction impaire de manière unique Une fonction dé nie sur R est paire si pour tout x réel f x f ??x Une éponse X enn et vise CRaisonnement par analyse-synthèse Mat' les Ressources C fonction dé nie sur R est impaire si pour tout x réel f ??x ??f x Soit f R ? R On va montrer l'existence puis l'unicité de la décomposition Montrer qu'il existe deux fonctions g R ? R et h R ? R telles que g soit une fonction paire h une fonction impaire et pour tout x ?? R f x g x h x Montrer que si g et g sont deux fonctions paires et h et h deux fonctions impaires telles que pour tout x ?? R f x g x h x f x g x h x alors pour tout x ?? R g x g x et h x h x C Exercice Recherche d'un antécédent Soit f la fonction dé nie par R ? R x x ? f x x ?? Montrer que pour tout y il existe x tel que f x y Commentaires sur l'Exercice rtir de f x y pour trouver x en fon tion de yF in f it le pro lème revient à trouver l ije tion ré iproque de l fon tion f F g estEàEdire trouver une fon tion g ppelée ije tionD lorsqu elle existeA tel que f x y ?? x g y yn montre i i que l fon tion f prend toutes les v leurs de R et on dit que f est surje tive de R d ns R F in f itD elle est même ije tive estEàEdire que g existeA Y les deux méthodes proposées iEdessous le prouventF À nouve