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Electricité Générale Rappels mathématiques Les vecteurs Un vecteur est un objet mathématique qui possède une intensité et une direction On désignera un vecteur au moyen d'un symbole surmonté d'une èche noté V et son intensité par le symbole sans èche V La composante d'un vecteur sur un axe donné est la longueur de la projection du vecteur sur l'axe Soit trois axes orthogonaux X Y et Z Un vecteur tridimensionnel est complètement déterminé par ses composantes x y z sur les trois axes On écrit V f x y z Cela dit il est important de remarquer que le vecteur est indépendant des axes choisis c'est-à-dire du référentiel tandis que les composantes changent si l'on e ?ectue une rotation des axes par exemple Un vecteur unitaire est un vecteur dont la grandeur est égale à On le désigne par une lettre minuscule i j k u etc Pour tout vecteur V non nul u V est le vecteur unitaire V parallèle à V Les trois vecteurs unitaires i j k sont parallèles aux axes X Y Z respectivement et manifestement on écrit V x i y j z k Le produit scalaire de deux vecteurs V et V est un nombre noté V V et dé ?ni comme V V x x y y z z On peut montrer queV V V V cos est l'angle entre V et V Le produit V V est un scalaire en ce sens que sa valeur ne change pas si l'on e ?ectue une rotation des axes x y et z On a V V x y z V Le produit vectoriel de V et V est un vecteur noté V ?V et dé ?ni comme V ?V y z ?? z y i z x ?? x z j x y ?? y x k i ik x y z x y z ? ? On peut montrer que V ?V est un vecteur perpendiculaire au plan formé par V etV dont l ? intensité est égale à V V sin et dont le sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite Il n'est pas di ?cile de montrer que V ? V - V ? V UEF CElectricité Générale V V V V V V ?V V V ?V V V ?V V V ?V V V V - V V V La dérivée d'un vecteur par rapport à une variable s'e ?ectue composante par composante La dérivée d'un produit scalaire ou d'un produit vectoriel suit les lois de la dérivée d'un produit ordinaire Les systèmes de coordonnées Rappel L'intégrale d'une fonction f x entre deux bornes a et b est égale à l'aire sous la courbe associée Pour obtenir une valeur approximative de l'aire on peut faire la construction illustrée à la ?gure On divise l'intervalle a b en n sous intervalles égaux de longueur ? x et on évalue l'aire de chacun des rectangles indiqués f xn b f x f x a x