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Complexes 1 ? Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot NOMBRES COMPLEXES Corps C des nombres complexes Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes et ? de la manière suivante Pour a b c d ?? R on pose a b c d a c b d a b ? c

? Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot NOMBRES COMPLEXES Corps C des nombres complexes Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes et ? de la manière suivante Pour a b c d ?? R on pose a b c d a c b d a b ? c d ac ?? bd ad bc On véri ?e que R muni de ces deux lois est un corps On peut alors identi ?er le sous-corps R ? de R au corps R puisque pour tout a b ?? R a b a b a ? b ab On convient de noter C le corps R et on appelle nombres complexes ses éléments On convient également de noter un couple a b ?? R sous la forme a ib En particulier i et i ?? ?? Remarque L ? écriture d ? un complexe z sous la forme a ib s ? appelle la forme cartésienne ou algébrique de z La construction de C montre que la forme cartésienne est unique Autrement dit pour a b c d ?? R a c a ib c id ? ?? b d De la construction de C on déduit les règles de calcul suivantes Règles de calcul a ib c id a c i b d a ib ? c id ac ?? bd i ad bc Dé ?nition Parties réelle et imaginaire Soit z a ib ?? C avec a b ?? R Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z On note a Re z et b Im z Remarque Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur http laurentb garcin free fr C ? Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Proposition Soit z z ?? C Alors Re z z Re z Re z et Im z z Im z Im z Soient ? ?? R et z ?? C Alors Re ?z ? Re z et Im ?z ? Im z Remarque On peut résumer ce qui précède de la manière suivante ?? z z ?? C ?? ? ?? R Re ?z z ? Re z Re z Im ?z z ? Im z Im z On dira plus tard que les applications Re C z ?? ? ?? ? R Re z et Im C z ?? ? ?? ? R Im z sont des formes R-linéaires F Attention Soit z z ?? C En général Re z z Re z Re z et Im z z Im z Im z Autrement dit la partie réelle resp imaginaire d ? une somme est bien la somme des parties réelles resp imaginaires mais la partie réelle resp imaginaire d ? un produit n ? est pas en général le produit des parties réelles resp imaginaires Dé ?nition Soit z ?? C On pose z et ??n ?? N ? zn z ?