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E04 corrige 1 F HECHNER Master EM parcours CAPES Université de Strasbourg Année - Fiche d ? exercices numéro Variables aléatoires Indications de correction Exercice La première chose à faire est de repérer les valeurs prises par X C ? est dit dans l ? éno

F HECHNER Master EM parcours CAPES Université de Strasbourg Année - Fiche d ? exercices numéro Variables aléatoires Indications de correction Exercice La première chose à faire est de repérer les valeurs prises par X C ? est dit dans l ? énoncé X ?? ?? À présent il faut calculer P X k pour k Comme la probabilité d ? obtenir k est proportionnelle à k d ? après l ? énoncé il existe une constante de proportionnalité c telle que P X k ck pour tout k ?? ?? ?? Mais P est une probabilité donc P X k Par conséquent k ??X P X k Mais P X k ck et c ne dépend pas de k donc P X k ck c k k k k k c ? Comme on a vu que cette somme devait valoir on a c On en déduit que la loi de X est donnée par le tableau suivant car P X k k k P X k Rappelons que la fonction de répartition FX est dé ?nie pour tout x ?? R par FX x P X x Compte-tenu du tableau ci-dessus récapitulant la loi de X on obtient F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F FX x F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F si x si x si x si x si x si x si x Par dé ?nition E X kP X k ici il n ? y a pas de problème d ? existence la somme ne comporte k ??X qu ? un nombr ?ni de termes Donc d ? après la première question E X k k k k k ? Pour calculer la variance de X on commence par déterminer son moment d ? ordre D ? après le théorème de transfert E X k P X k Donc d ? après la première question E X k k k ??X k k k On déduit alors de la formule de K ?nigs-Huygens que VarX E X ?? E X ?? La variable Y prend les valeurs car X prend les valeurs De plus pour tout k ?? ?? ?? P Y k P X k P X k donc la loi de X est donnée par le tableau suivant qui se déduit aisément de celui donnant la loi de X yk P Y yk On peut soit utiliser directement le tableau précédent soit utiliser le théorème du transfert qui donne E Y E X ykP X k k P X k k k Ici les deux raisonnements k k k conduisent à faire rigoureusement les mêmes calculs On pourra remarquer que bien sûr E X E X CF HECHNER Master EM parcours CAPES Université de Strasbourg Année - Exercice Comme le tirage se fait au hasard X suit la