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Espaces euclidiens c Christophe Bertault - MPSI Espaces euclidiens Dans ce chapitre on travaille seulement avec le corps de base R Les lettres n p q désignent des entiers naturels non nuls Produit scalaire norme et distance Produit scalaire Dé ?nition Pro

c Christophe Bertault - MPSI Espaces euclidiens Dans ce chapitre on travaille seulement avec le corps de base R Les lettres n p q désignent des entiers naturels non nuls Produit scalaire norme et distance Produit scalaire Dé ?nition Produit scalaire espace préhilbertien réel espace euclidien ? Soit E un R-espace vectoriel On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique dé ?nie positive i e toute application E ? E ?? ? R F F F F ?x y z ? x z y z bilinéaire ??x y z ?? E ?? ? ?? R F F x ?y z ? x y x z symétrique ??x y ?? R y x x y dé ?nie ??x ?? E x x ? ?? x E positive ??x ?? E x x ? Un espace vectoriel réel muni d ? un produit scalaire est appelé un espace préhilbertien réel Un espace préhilbertien réel de dimension ?nie est appelé un espace euclidien Explication Par chance le produit scalaire usuel avec lequel vous avez l ? habitude de travailler depuis quelques années est un produit scalaire au sens de cette dé ?nition sur R ou R Cela dit en principe cette dé ?nition devrait vous étonner En début d ? année nous avons dé ?ni le produit scalaire de deux vecteurs au moyen de la formule u v u v cos u v ? qui supposait connues les notions de norme d ? un vecteur et d ? angle de deux vecteurs Cette fois nous dé ?nissons la notion de produit scalaire indépendamment de ces deux notions Le comble dans cette histoire c ? est que les notions de norme et d ? angle vont découler naturellement de notre dé ?nition du produit scalaire Attention Il existe de nombreux produits scalaires conformes à cette dé ?nition dans le plan ou l ? espace jusqu ? ici R ?? ? R nous en avons privilégié un Par exemple l ? application x y x y ?? ? xx xy yx yy est un produit scalaire sur R distinct du produit scalaire usuel En e ?et La bilinéarité et la symétrie sont évidentes Pour la dé ?nition et la positivité soit u x y ?? R Alors u u x xy y x x y De plus ce produit scalaire est nul si et seulement si x x y i e x y Remarque ? La bilinéarité du produit scalaire implique en particulier ceci ??x ?? E x E E x ? La symétrie et la linéarité par rapport à une variable seulement su ?sent à montrer la bilinéarité ? Le produit scalaire de deux vecteurs x et y est aussi parfois noté x y x y x y ou encore x y Norme et distance associées à un produit scalaire Dé ?nition Norme Soit E un espace préhilbertien réel de produit scalaire ? On appelle norme euclidienne sur E associée au produit scalaire l ? application E ?? ? R dé ?nie