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Outils mathematique pour la physique

UMBB Boumerdès Faculté des sciences Département de physique Cours exercices Mécanique Rationnelle TCT et LMD-ST sem A KADI LES OUTILS MATHEMATIQUES La modélisation de l ? espace réel considéré dans le cadre de la mécanique classique comme étant à trois dimensions homogène et isotrope suppose l ? introduction d ? outils mathématiques tel que les vecteurs et les notions sur les torseurs Dans cette partie nous présenterons les rappels et l ? ensemble des opérations mathématiques sur les vecteurs Nous développerons aussi l ? étude sur les torseurs qui sont des outils mathématiques très important en mécanique classique notamment en mécanique des solides L ? utilisation des torseurs en mécanique permet de simpli ?er l ? écriture des équations relatives aux grandeurs fondamentales de la mécanique Opérations sur les vecteurs ? Dans tout ce qui suit on s ? intéressera à l ? ensemble E des vecteurs V de l ? espace usuel E est un espace Euclidien à trois dimensions Dé ?nition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrémité A il est dé ?ni par son origine - sa direction A O son sens son module ? ?? ?? ? Par convention on adopte la notation suivante vecteur V ou OA Classi ?cation des vecteurs ? ? ? Il existe plusieurs types de vecteurs Vecteur libre la direction le sens et le module sont donnés mais la droite support et le point d ? application origine du vecteur ne sont pas connues Vecteur glissant le point d ? application origine du vecteur n ? est pas ?xé Vecteur lié tous les éléments du vecteur sont déterminés Vecteur unitaire c ? est un vecteur dont le module est égal à CUMBB Boumerdès Faculté des sciences Département de physique Cours exercices Mécanique Rationnelle TCT et LMD-ST sem A KADI Composantes d ? un vecteur ? ? ? Considérons une base de l ? espace R notée R O e e e Cette base est orthonormée si ? ? ei ? e j ? ? ? si si i j i ?? j ? e La base R est dite directe si un observateur se plaçant à ? ? ? l ? extrémité du vecteur e verra le vecteur e tourner vers le ? e ? e vecteur e dans le sens contraire des aiguilles d ? une montre ? ? ? ? ? Dans cette base un vecteur V de composantes x y z ?? R s ? écrirait ? ? ? ? V x e y e z e ? Les quantités réelles x y z sont appelées composantes du vecteur V dans la base R La notation adoptée est la suivante ?x ? V ? ? y R ? ? z Loi de composition interne Somme vectorielle ? ? ? La somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que ? ? ? ? ? ?? V V ?? R nous avons W