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Polynomes pdf Chapitre Polynômes PTSI B Lycée Ei ?el février Monsieur et Madame Ôme ont une ?lle comment s ? appelle-t-elle Il faut vraiment que je donne la réponse Il s ? embrouillait dans les polynômes se disculpa le professeur de mathématiques et quand

Chapitre Polynômes PTSI B Lycée Ei ?el février Monsieur et Madame Ôme ont une ?lle comment s ? appelle-t-elle Il faut vraiment que je donne la réponse Il s ? embrouillait dans les polynômes se disculpa le professeur de mathématiques et quand un élève s ? embrouille dans les polynômes que peut-on faire Antonio Lobo Antunes Introduction Avant de s ? attaquer vraiment à l ? algèbre linéaire ce chap? tre servira d ? introduction par l ? exemple aux concepts plus généraux développés ensuite dans toute leur généralité sur les espaces vectoriels Les polynômes constituent en e ?et un excellent exemple d ? objet mathématique formel mais avec lequel on peut faire des calculs par le biais d ? opérations simples comme la somme le produit ou la composition C ? est ce genre de notions opérations utiles ? sur un ensemble que nous essaierons de généraliser ensuite Ce chap? tre sera également l ? occasion de croiser pour la première fois une formule d ? importance capitale en analyse et que nous retrouverons sous d ? autres formes à plusieurs reprises ensuite la formule de Taylor Objectifs du chapitre ? savoir factoriser ou e ?ectuer une division euclidienne sur des polynômes à coe ?cients réels ou complexes ? comprendre ce que signi ?e la formule de Taylor d ? un point de vue analytique L ? ensemble K X Dans toute ce chap? tre K désigne soit l ? ensemble R des nombres réels ou l ? ensemble C des nombres complexes Pour les plus curieux toute la construction e ?ectuée ici peut être généralisée à un corps K quelconque c ? est-à-dire à un ensemble munis de deux opérations de somme et de produit sympathiques ? associatives commutatives distributibe l ? une par rapport à l ? autre admettant chacune un élément neutre et telles que tout élément ait un opposé et un inverse sauf en ce qui concerne l ? inverse CDé ?nition Un polynôme à coe ?cients dans K est un objet mathématique formel s ? écrivant k n P akXk o? a a an ?? Kn et X est une indéterminée destinée à être remplacée par k n ? importe quel objet pour lequel le calcul de P peut avoir un sens donc en gros des éléments qu ? on sait élever à une certaine puissance et multiplier par des éléments de K par exemple des matrices des suites ou des fonctions Dé ?nition On note K X l ? ensemble de tous les polynômes à coe ?cients dans K k n Dé ?nition Soit P akXk un polynôme avec an Les nombres ak sont appelés coef- k ?cients du polynôme P l ? entier n degré de P souvent noté d ? P le coe ?cient correspondant an est le coe ?cient dominant de P Si ce coe ?cient est égal à on dit que P est un polynôme unitaire Remarque Par convention le polynôme nul a pour degré ?? ? C ?