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Tp6 derivation numerique Ecole Supérieure privée de l ? Aéronautique et des Technologies Enseignante Marwa Bouali A U - Semestre Maths Appliquées - Niveau GT et GA TP Di ?érentiation Numérique Objectif Dans ce TP nous allons approximer sous Matlab la déri

Ecole Supérieure privée de l ? Aéronautique et des Technologies Enseignante Marwa Bouali A U - Semestre Maths Appliquées - Niveau GT et GA TP Di ?érentiation Numérique Objectif Dans ce TP nous allons approximer sous Matlab la dérivée première f x et la dérivée seconde f x Notons que l ? expression analytique de f x peut être connue comme elle peut être inconnue Compte rendu Vous devez rédiger un compte-rendu dans lequel vous répondrez à toutes les questions de ce TP La qualité de la rédaction de la synthèse de l ? analyse des résultats obtenus sont des critères importants pour la note Principe On considère une fonction f a b ? R de classe su ?samment élevée x ?? a b ?xé On veut approcher au mieux les dérivées de la fonction f au point x Or f x h ?? f x f x lim h ? h avec h petit on obtient f x h ?? f x f x h Nous constatons que cette approximation de f x fait intervenir la valeur de f en x et x h ce qui nous conduit à approcher les nombres f x f x f n x en utilisant un ensemble discret de points Une des méthodes les plus anciennes utilisées pour obtenir des formules de dérivation numérique consiste à construire des quotients di ?érentiels à l ? aide des développements de Taylor Approximation de la dérivée première E ?ectuons un premier développement de Taylor d ? ordre de f autour de x h f x h f x h f x f ?? x x h On obtient F F f x h ?? f x F F F F f x fd x h h F F F F Ed ?? f ?? x x h c ? est la formule de di ?érences ?nies progressives c ? est l ? erreur commise C E ?ectuons un deuxième développement de Taylor d ? ordre de f autour de x h f x ?? h f x ?? h f x f ?? x ?? h x On obtient F F f x ?? f x ?? h F F F F f x fg x c ? est la formule de di ?érences ?nies régressive h h F F F F Eg f ?? x ?? h x c ? est l ? erreur commise Les formules obtenues sont donc deux approximations d ? ordre de la dérivée première et l ? erreur à chaque fois tend vers quand h tend vers Augmentons l ? ordre du développement de Taylor de f autour de x h h f x h f x h f x f x f h h f x ?? h f x ?? h f x f x ?? f En soustrayant membre à membre on obtient ?? x x h ?? x ?? h x h f x h ?? f x ?? h hf x f f Ce qui