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1 notions de logique bases de la logique raisonnement logique

Résumé de cours bases de la logique Résumé de cours bases de la logique Propositions Une proposition ou assertion est un énoncé mathématique qui a une et une seule valeur vrai ou faux La négation de la proposition P P est la proposition qui est vraie si et seulement si P Pest fausse Elle est notée non P non P Si P P et Q Q sont deux propositions P P et Q Q est la proposition qui est vraie si et seulement si P P et Q Q sont toutes les deux vraies Si P P et Q Q sont deux propositions P P ou Q Q est la proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions P P ou Q Q est vraie non P et Q non P ou non Q non P et Q non P ou non Q non P ou Q non P et non Q non P ou Q non P et non Q L'implication P Q P Q est la proposition non P ou Q non P ou Q Pour démontrer P Q P Q on suppose que P P est vraie et on démontre que Q Q est vraie On dit que les proposition P P et Q Q sont équivalentes lorsque l'on a à la fois P Q P Q et Q P Q P qui sont vraies On note alors P ? Q P ?Q Quanti ?cateurs Le quanti ?cateur pour tout ou quel que soit est noté ??x ??x La proposition ??x ?? E P x ??x ??E P x est vraie lorsque pour tout x ?? E x ??E la proposition P x P x est vraie Le quanti ?cateur il existe au moins un est noté ?? ?? La proposition ??x ?? E P x ??x ??E P x est vraie lorsqu'il existe au moins un x ?? E x ??E telle que la proposition P x P x soit vraie Le quanti ?cateur il existe un unique est noté ?? ?? La proposition ?? x ?? E P x ?? x ??E P x est vraie lorsqu'il existe un unique x ?? E x ??E telle que la proposition P x P x soit vraie La négation de ??x ?? E P x ??x ??E P x est ??x ?? E non P x ??x ??E non P x La négation de ??x ?? E P x ??x ??E P x est ??x ?? E non P x ??x ??E non P x Conditions nécessaires conditions su ?santes Lorsque P Q P Q on dit que P P est une condition su ?sante à Q Q et que Q Q est une condition nécessaire à P P Méthodes de raisonnement par implication pour prouver que P Q P Q on suppose que P P est vraie et on utilise di ?érentes propriétés déjà connues pour établir que Q Q est vraie www bibmath net ressources index php action a