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Algebre generale Logique et théorie des ensembles Logique et théorie des ensembles Baolahy Josaphat UNIVERSITE DE FIANARANTSOA décembre CLogique et théorie des ensembles Motivations Les données informatiques nombre mot texte image vidéo sont représentées

Logique et théorie des ensembles Logique et théorie des ensembles Baolahy Josaphat UNIVERSITE DE FIANARANTSOA décembre CLogique et théorie des ensembles Motivations Les données informatiques nombre mot texte image vidéo sont représentées par une succession de et de Par exemple le nombre est représenté par L'algèbre de Boole est la partie des Mathématiques qui étudie ces objets qu'on appelle les nombres binaires Numérisation et système binaire Les cartes bancaires sont protégées par les systèmes de sécurisation qui sont des résultats de la cryptographie CLogique et théorie des ensembles Motivations Les maths permettent d'exprimer avec rigueur les faits de la nature Exemple Une fonction continue est une fonction qu'on peut tracer avec un crayon sans lever la main A continuous function is a function that we can draw with a pencil without getting our hand up Qu'en pensez-vous Ils sont les mêmes mais B sont écrits dans di érents langages En langage mathématique une fonction f D ? R est continue lorsque ??x ?? D ?? ?? ? ??x ?? D x ?? x ? ?? f x ?? f x Le but de ce chapitre est de vous faire comprendre cette dernière ligne C'est la logique CLogique et théorie des ensembles Ce rigueur permet de distinguer les vraies du faux Exemple est plus grand que ??x ?? R x ? Obtenir Ar est préférable que d'obtenir un ordinateur Qu'en pensez-vous C'est le C raisonnement Le raisonnement est le moyen de valider ou d'in rmer une hypothèse et de l'expliquer à autrui CLogique et théorie des ensembles Exemple de problème qu'on va résoudre avec les maths Les maths permettent de répondre à beaucoup de questions de manière précise ceci est gr? ce à sa rigueur Exemple Nous avons à distribuer de manière équitable ordinateurs et téléphone à des points B de vente de matériel informatique A Combien de points de vente di érents au maximum pourrons-nous faire cette distribution Combien d'ordinateurs de téléphones doit-on livrer à chaque centre CLogique et théorie des ensembles Réponse Nombre entier Division Euclidienne PGCD La réponse est points de vente C C Logique et théorie des ensembles Logique De nition Une assertion est une phrase qui est soit vraie soit fausse pas les deux en même temps Exemple Il pleut à ce moment Je suis le plus grand de la classe ? CLogique et théorie des ensembles Tableau de vérité Si P est une assertion on a sa table de vérité P P V ou F C C Logique et théorie des ensembles De nition Une proposition est une assertion qui comporte une ou plusieurs variables de telle sorte qu'elle soit vraie pour certaines valeurs de la variable et fausse pour les autres valeurs Exemple Si x et y sont deux nombres réels x y Si x et y sont deux nombres entiers naturels x y Si a et b sont deux étudiants a est l'ami de b CLogique et théorie des ensembles Une assertion qui est toujours vraie est appelée une tautologie Sa tableau de