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Bcpst1 cours logique L F I ?? Extrait de Principia Mathematica ?? A North Whitehead et B Russell F I ?? Explosion d ? Ariane le juin Les mathématiques modernes forment une science essentiellement formelle Tout texte mathématique peut être entièrement énon

L F I ?? Extrait de Principia Mathematica ?? A North Whitehead et B Russell F I ?? Explosion d ? Ariane le juin Les mathématiques modernes forment une science essentiellement formelle Tout texte mathématique peut être entièrement énoncé dans un langage conventionnel constitué d ? un nombre déterminé de symboles utilisé selon des règles précises La véri ?cation syntaxique d ? un tel texte est donc une opération purement mécanique Toutefois pour des énoncés courants une telle véri ?cation est extrêmement fastidieuse On se permet donc d ? utiliser le langage courant un certain nombre des symboles abréviateurs qui représentent une opération complexe des méthodes de calcul et de raisonnement éprouvées intégration par parties raisonnement par l ? absurde par CI ?? Phrases mathématiques récurrence etc ainsi que des objets courants entier opérations usuelles etc sans chercher à en expliciter complètement la dé ?nition Il est pourtant essentiel d ? avoir quelques notions de ce formalisme qui constitue les fondements solides de la science mathématique I ?? Phrases mathématiques I ?? Énoncés On dé ?nit tout d ? abord un certain nombre de symboles ?? des variables en nombre in ?ni notées x y z etc ?? des constantes comme etc ?? des prédicats qui rendent compte des relations entre les variables Par exemple est plus petit que ? qui est noté addition ? etc ?? des connecteurs logiques comme et ? ou ? etc ?? et en ?n des quanti ?cateurs au nombre de deux l ? un existentiel ? noté ?? et l ? autre universel ? ?? I ?? Syntaxe Ces symboles peuvent être employés selon une syntaxe précise qui est constitué à la fois de règles concernant les objets proprement mathématiques toute parenthèse ouverte doit être fermée le signe ? doit être précédé et suivi d ? un symbole etc ainsi que des règles propres à la dé ?nition des objets Exemple ?? ? n ? est pas syntaxiquement correcte ?? x ln ?? ? non plus la syntaxe du symbole ln n ? est pas respectée ?? ? est syntaxiquement correct quoique fausse ?? est un entier pair ? ?? Cette phrase est écrite avec une faute d ? orthographe ? syntaxiquement correct mais fausse ?? j ? espère lim n ? ? un Pour bien travailler on doit donc penser à véri ?er la syntaxe des énoncés utiliser une fonction dans son domaine de dé ?nition véri ?er la convergence d ? une suite avant d ? écrire le symbole lim etc Beaucoup d ? erreurs d ? élève sont en réalité des erreurs de syntaxe Les erreurs de raison- nement sont souvent plus subtiles et plus di ciles à expliquer CII ?? Logique ?? Valeurs de vérités Exercice En faisant quelques calculs simples expliquez pourquoi il est syntaxiquement incorrect de dé ?nir un ordre parmi les nombres complexes semblable à celui qui est dé ?ni sur les réels d ? écrire ?? i de dé ?nir la racine carrée d ? un