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Chapitre 1 thacorie des ensembles

Théorie na? ve des ensembles xIntroductionx Conformément aux objectifs ?xés le point de vue adopté dans ce chapitre est une approche na? ve de la théorie des ensembles Néanmoins quelques références aux axiomes de la théorie des ensembles seront nécessaires George Cantor - était un Historiquement la notion d ? ensemble a été introduite au XIXe siècle par Cantor puis formalisés notamment par mathématicien allemand Gottlob Frege - était un Frege qui introduit les ensembles à partir de la notion de prédicat mathématicien logicien et philosophe allemand La théorie des ensembles nous servira de base pour établir toutes les théories mathématiques que l ? on rencontrera à travers les chapitres d ? algèbre d ? analyse de géométrie et de probabilité Ce chapitre est donc incontournable et il n ? est pas envisageable d ? en faire l ? impasse xPrérequisx ? Niveau Terminale Bac dans l ? idéal ? Notions élémentaires de logique connecteurs logiques quanti ?cateurs théorèmes de logique ? Conna? tre et utiliser les di ?érents types de raisonnements par l ? absurde par disjonction de cas par contra- position xObjectifs du chapitrex ? Introduire les opérations élémentaires sur les ensembles ? Etudier les opérations élémentaires sur les ensembles CLe cours du chapitre xAx Introduction et premières notions x x La notion d ? ensemble Un groupe d ? amis une grappe de raisin un ensemble de points sont d ? autant d ? exemple d ? ensembles de choses Nous Grosso modo un ensemble est une avons tous une idée intuitive de ce qu ? est un ensemble et nous nous contenterons de cette idée sorte d ? enveloppe virtuelle Le concept mathématique d ? un ensemble peut servir de fondement à toutes les branches connues des mathématiques Dans ce cours nous n ? avons pas la prétention de dé ?nir ce qu ? est réellement un ensemble On dit que c ? est une notion primitive ou première Les ensembles sont traditionnellement notés au moyen d ? une lettre de l ? alphabet en majuscule Il apparait alors la nécessité d ? appartenir ou non dans un ensemble C ? est aussi une notion primitive Pour signi ?er que x est un élément de l ? ensemble E on écrit x ? E et on lit x appartient à E ? ou x est un élément de E ? Si x n ? est pas un élément de E on écrit x ? E et on dit que x n ? appartient pas à E ? Remarques E L ? énoncé x ? E ? est un prédicat Sa négation est l ? énoncé x ? E ? Traditionnellement on représente les ensembles au moyen de diagrammes de Venn voir le dessin ci-contre ? x ? y Les éléments d ? un ensemble s ? il y en a sont représentés par des points ou le plus souvent par des croix Le nom des éléments ainsi que le nom de l ? ensemble sont indiqués