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Class note alegbra Chapitre Ensembles et applications Introduction En mathématiques on nous touvons de di érents ensembles comme par exemple l ? ensemble des entiers naturels N l ? ensemble des entiers relatifs Z en arithmétique des rationnels Q l ? ensem

Chapitre Ensembles et applications Introduction En mathématiques on nous touvons de di érents ensembles comme par exemple l ? ensemble des entiers naturels N l ? ensemble des entiers relatifs Z en arithmétique des rationnels Q l ? ensemble des réels R ou des complexes C en analyse ou en géométrie l ? ensemble des points du plan R Pour chaque dé ? nition ou résultat qui sera énoncé dans ce chapitre il faudra toujours essayer d ? imaginer de nombreuses situations concrètes dans chacun des ensembles précédents et dans d ? autres L ? étude de la théorie des ensembles ainsi que l ? étude de la logique mathématique s ? est développée à la ? n du XIXe siècle et au début du XXe et les notations que l ? on utilise aujourd ? hui A B x E P Q datent la plupart du temps de cette époque Ce sont dans un premier temps les progrès réalisés dans la théorie de l ? intégration qui ont conduit la communauté mathématique à s ? intéresser à ces notions Les deux grands noms de l ? étude de la théorie des ensembles et de la logique mathématique sont Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor - pour les ensembles et Kurt G? del - pour la logique En mathématiques nous avons besoin d ? un vocabulaire simple mais e cace des notations de base ainsi que d ? un certain nombre de raisonnements types qui seront ensuite utilisés par la suite dans tous les autres chapitres Ensembles Dé ? nition Ensembles et éléments Un ensemble est une collection d ? objets o? chaque objet de cette collectionest est appelés éléments d ? ensemble On notera en général les éléments par les lettres minuscule x y z et un ensemble par une lettre majuscule E F Il y a principalement deux façons de dé ? nir un ensemble - En extension s ? il est constitué d ? un nombre ? ni d ? éléments distincts Exemple a- E f g C Ensembles et applications b- E f g - En compréhension s ? il est constitué d ? un nombre in ? ni d ? éléments ou même ? ni si on donne pas la liste de ces éléments mais juste leurs propriétés Exemple a- E fx R jx j g b- Un ensemble formé d ? un seul élément est appelé singleton Par exemple F fn N n g f g c- Un ensemble particulier est l ? ensemble vide noté qui est l ? ensemble ne contenant aucun élément Dé ? nition Ensemble ? ni On dit qu ? un ensemble E est ? ni lorsque le nombre des éléments qui le composent est ? ni Le nombre des éléments de E est appélé cardinal de E On le note card E Dé ? nition On dit qu ? un ensemble E est ? ni lorsque le card E est un entier naturel ? ni Exemple E f g