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Cours 6 Logique mathématique introduction Paul Rozière Paris ?? MT septembre version provisoire ?? CIntroduction La logique est souvent associée à l ? art de raisonner ? Elle étudie un certain type de discours argumenté étude qui a commencé très tôt Ainsi

Logique mathématique introduction Paul Rozière Paris ?? MT septembre version provisoire ?? CIntroduction La logique est souvent associée à l ? art de raisonner ? Elle étudie un certain type de discours argumenté étude qui a commencé très tôt Ainsi Aristote av JC dégage certaines ?gures de raisonnement les syllogismes qui sont valides indépendamment des assertions qu ? elles mettent en oeuvre C ? est exactement le terrain d ? étude de la logique ce qui dans le raisonnement est indépendant du sujet étudié Très tôt également la logique est associée aux mathématiques comme terrain d ? étude privilégié Déjà l ? ambition des mathématiciens grecs de l ? antiquité est e ?et de présenter leur science comme purement déductive les théorèmes se déduisent d ? autres théorèmes et ultimement de certains axiomes bien identi ?és considérés comme évidents Les cha? nes de déductions sont purement formelles elles peuvent être établies indépendamment du sujet étudié Les éléments d ? Euclide av JC en sont l ? exemple le plus achevé puisqu ? il va constituer le cadre formel des mathématiques européennes jusqu ? au XVIIième siècle Cependant sans négliger les apports antérieurs on peut dire que la logique moderne ?? celle que nous allons étudier ?? date essentiellement de la deuxième moitié du XIXième siècle avec les travaux fondateurs de George Boole Augustus De Morgan Charles S Peirce et surtout Gottlob Frege Le développement du calcul intégral et du calcul in ?nitésimal introduits par Isaac Newton et Gottfried Leibniz au cours du XVIIième siècle a conduit à sortir du cadre de la géométrie d ? Euclide C ? est au cours du XIXème siècle que l ? on dé ?nit formellement les notions qui fondent l ? analyse moderne comme celles de limite et de continuité L ? ambition de certains mathématiciens comme Richard Dedekind et Georg Cantor est alors de redonner des fondements axiomatiques sûrs aux mathématiques en partant non plus de la géométrie mais de l ? arithmétique puis de la notion d ? ensemble Parallèlement l ? ambition de certains logiciens de l ? époque est de mathématiser la logique de l ? axiomatiser de la même façon qu ? une théorie mathématique et ils utilisent pour cela des notions et des notations comme la notation fonctionnelle les variables apparues en mathématique Le premier système logique à la fois entièrement formalisé et su ?samment riche pour formaliser les mathématiques mais ce n ? était pas sa seule ambition est dû à Frege en Frege souhaite donner des fondements purement logiques aux mathématiques Il rejoint en cela Cantor qui fonde les mathématiques sur la théorie des ensembles mais ne cherche pas à formaliser la logique elle même La notion d ? ensemble est en e ?et très proche de de la notion logique de ??prédicat ? une propriété dé ?nit l ? ensemble des objets ayant cette propriété La théorie des ensembles est d ? ailleurs considérée actuellement comme une branche de la logique mathématique Le développement de