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Chapitre 1 Notations et Symboles Objectifs • Connaître les ensembles de nombres

Chapitre 1 Notations et Symboles Objectifs • Connaître les ensembles de nombres. • Connaître le vocabulaire lié aux ensembles, les symboles correspondant et leurs propriétés. • Connaître les quantiﬁcateurs et savoir les utiliser. • Connaître l’implication et l’équivalence ainsi que les méthodes pour démontrer l’une et l’autre. • Être capable d’utiliser les symboles Σ et Q , et d’effectuer des calculs avec ceux-ci. Sommaire I) Les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1) Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2) Vocabulaire lié aux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3) Les quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II) Le raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1) La conjonction et la disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2) L’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3) L’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III) Les symboles sigma et pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1) Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2) Changement d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3) Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 IV) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I) Les ensembles 1) Les ensembles de nombres • L’ensemble des entiers naturels, N = {0,1,2,···}. • L’ensemble des entiers relatifs : Z = {··· ,−2,−1,0,1,2,···}. • L’ensemble des nombres rationnels : Q, un rationnel est une fraction d’entiers. Tout rationnel peut s’écrire de manière unique sous forme irréductible avec le numérateur dans Z et le dénominateur dans N∗. • L’ensemble des nombres réels : R, parmi ceux - ci on distingue ceux qui sont rationnels (les éléments de Q) et ceux qui sont irrationnels, par exemple p 2 est irrationnel car ce n’est pas un élément de Q. • L’ensemble des nombres complexes : C, qui fera l’objet d’un chapitre. 2) Vocabulaire lié aux ensembles • L’ensemble vide : ;. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC c ⃝Fradin Patrick – http://mpsi.tuxfamily.org 1 Les ensembles Chapitre 1 : Notations et Symboles • L’égalité : on dit que deux ensembles A et B sont égaux lorsqu’ils ont exactement les mêmes éléments (notation : A = B). • L’inclusion : le symbole correspondant est ⊂(se lit « est inclus dans »), il s’utilise entre deux en- sembles. La proposition : A ⊂B signiﬁe que A et B sont deux ensembles et que tous les éléments de A sont également éléments de B, la négation de cette proposition est :A ̸⊂B, ce qui signiﬁe que au moins un élément de A n’est pas dans B, par exemple N ⊂Z mais R ̸⊂Q. Si E et A désignent des ensembles, et si A est inclus dans E, on dit que A est une partie de E. L’ensemble des parties de E est noté P (E), donc écrire « A ⊂E » revient à écrire « A ∈P (E) ». L’ensemble vide (;) et E sont des parties de E. B A A ⊂B B A A ̸⊂B Dire que deux ensembles A et B sont égaux, revient à dire que A est inclus dans B, et B est inclus dans A. Donc démontrer une égalité entre deux ensembles, peut se faire en montrant une double inclusion. • L’appartenance : le symbole correspondant est ∈(se lit « appartient à »), il s’utilise entre un élément et un ensemble. La proposition x ∈A signiﬁe que A est un ensemble et que x est un élément de cet ensemble, la négation est x / ∈A. Par exemple p 2 ∈R, mais p 2 / ∈Q. A x x ∈A A x x / ∈A • La réunion : le symbole correspondant est ∪(se lit « union »), il s’utilise entre deux ensembles, le résultat ne donne pas une proposition mais un autre ensemble. A∪B est l’ensemble que l’on obtient en regroupant les éléments de A avec ceux de B, par exemple N ∪Z = Z. • L’intersection : le symbole correspondant est ∩(se lit « inter »), il s’utilise entre deux ensembles, là encore le résultat est un ensemble. A ∩B désigne l’ensemble des éléments communs à A et B. Par exemple N ∩Z∗= N∗. On dit que deux ensembles sont disjoints lorsque leur intersection est l’ensemble vide. Si A, B, C sont trois ensembles, on peut vériﬁer la propriété suivante : MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC c ⃝Fradin Patrick – http://mpsi.tuxfamily.org 2 Les ensembles Chapitre 1 : Notations et Symboles A∪(B ∩C) = (A∪B) ∩(A∪C) et A∩(B ∪C) = (A∩B) ∪(A∩C). A B A∪B A B A∩B • La différence : le symbole correspondant est \ (se lit « moins »), il s’utilise entre deux ensembles, là encore le résultat est un ensemble. Si A et B désignent deux parties d’un ensemble E, l’ensemble A\ B est l’ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B. • Le complémentaire : si A désigne une partie d’un ensemble E, le complémentaire de A dans E est noté CE(A) (ou bien E \ A) et désigne l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. Par exemple R \ Q est l’ensemble des irrationnels. Si A et B sont deux parties d’un ensemble E, on peut vériﬁer les propriétés suivantes : – A∪CE(A) = E. – CE(E) = ;, E \ ; = E. – E \ (E \ A) = A. – E \ (A∪B) = (E \ A) ∩(E \ B) (loi de De Morgan 1). – E \ (A∩B) = (E \ A) ∪(E \ B) (2ième loi de De Morgan). A B A\ B E A CE(A) • Produit cartésien : si E et F désignent deux ensembles, le produit cartésien de E par F est l’ensemble des couples (x, y) avec x ∈E et y ∈F. Notation : E × F = {(x, y) / x ∈E, y ∈F}. On rappelle que (x, y) = (a, b) si et seulement si x = a et y = b. 3) Les quantiﬁcateurs Les quantiﬁcateurs servent à construire des propositions portant sur les éléments d’un ensemble, il en existe deux types : 1. MORGAN Augustus DE (1806 – 1871) logicien anglais. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC c ⃝Fradin Patrick – http://mpsi.tuxfamily.org 3 Le raisonnement Chapitre 1 : Notations et Symboles uploads/Philosophie/ chap01-1011.pdf