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Cours algebre cpp Chapitre Logique Un scienti ?que étudie des objets à propos desquels il énonce des faits ou propositions La logique manipule de façon formelle les propositions Elle permet de modéliser les bases élémentaires du raisonnement Il est import

Chapitre Logique Un scienti ?que étudie des objets à propos desquels il énonce des faits ou propositions La logique manipule de façon formelle les propositions Elle permet de modéliser les bases élémentaires du raisonnement Il est important de souligner que la logique est utile dans toute démarche scienti ?que En revanche dans le langage courant dit langage vernaculaire la logique ne s ? applique pas toujours Cela peut poser problème car les livres et les articles scienti ?ques ainsi que les copies des étudiants sont rédigés en langage vernaculaire et pas dans un langage formel Il faut donc s ? e ?orcer d ? être parfaitement clair quand on rédige un texte scienti ?que Dé ?nition En logique une proposition ou assertion est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité vrai ou faux On note le vrai et le faux Exemple ? est un nombre entier ? est une assertion fausse est divisible par ? est une assertion vraie Remarque a La phrase cette assertion est fausse ? n ? est ni vraie ni fausse Ce n ? est donc pas une assertion logique Ce paradoxe est comparable à un individu a ?rmant je mens ? il est logiquement impossible de savoir si cet individu dit ou non la vérité C ? est le paradoxe du menteur b Mentionnons aussi le paradoxe de Berry soit E l ? ensemble des entiers naturels descriptibles par une phrase en français de quinze mots ou moins Alors E est un ensemble ?ni il n ? y a qu ? un nombre ?ni de phrases de quinze mots ou moins Soit n le plus petit entier n ? appartenant pas à E Alors n est dé ?ni de façon unique par la phrase Le plus petit entier non descriptible par une phrase de moins de quinze mots ? Or cette phrase comporte mots donc n appartient à E ce qui constitue un paradoxe Celui-ci ne dévoile aucune incohérence des mathématiques mais prouve tout simplement que n ? importe quelle phrase ne peut être considérée comme une assertion mathématique Connecteurs logiques Soient P et Q deux propositions Les connecteurs logiques sont La conjonction et ? notée ?? P ?? Q signi ?e que P est vraie et Q est vraie C La disjonction ou ? notée ?? P ?? Q signi ?e que au moins l ? une des deux propositions P ou Q est vraie La négation non ? notée P signi ?e que P est fausse L ? implication notée ?? P ?? Q signi ?e que si P est vraie alors Q est vraie L ? équivalence notée ?? P ?? Q signi ?e que P et Q ont même valeur de vérité Remarque a Dans le langage courant ou ? a en général un sens exclusif fromage ou ? dessert En mathématiques le ou ? est toujours inclusif si P et Q sont toutes les deux vraies alors P ?? Q est vraie b Le seul cas