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Cours alg TDI C TRI A TRI B Module Notions de mathématiques appliquées à l ? Informatique Chapitre Algèbre de BOOLE Présentation George Boole est le père fondateur de la logique moderne L'algèbre de Boole est une algèbre permettant de traduire des signaux

TDI C TRI A TRI B Module Notions de mathématiques appliquées à l ? Informatique Chapitre Algèbre de BOOLE Présentation George Boole est le père fondateur de la logique moderne L'algèbre de Boole est une algèbre permettant de traduire des signaux tout ou rien en expressions mathématiques en remplaçant chaque signal élémentaire par des variables logiques et leur traitement par des fonctions logiques L'algèbre de Boole nous permettra de résoudre des équations logiques a ?n de réaliser des fonctions sur des signaux numériques Ces fonctions seront appelées fonctions combinatoires et l'étude de la logique combinatoire nous conduira à réaliser des codeurs des transcodeurs et même des circuits arithmétiques Une fois assemblées ces fonctions combinatoires simples donneront naissances à des circuits réalisant des opérations très complexes utilisées dans l'élaboration des processeurs DSP ASIC FPGA L'étude des propriétés de l'algèbre de Boole nous amène à considérer les notions de variable binaire variable logique et fonction logique Après avoir dé ?ni le système binaire la fonction logique à une variable OUI NON la fonction logique à deux ou n variables OU ET nous abordons le concept de logique combinatoire Avec l'algèbre de Boole comme outil mathématique nous étudions les principales combinaisons logiques souvent utilisées à des ?ns techniques Les di ?érentes fonctions logiques de base sont décritent sous cinq formes une représentation logique symbole logique une représentation arithmétique table de vérité une représentation algébrique ou cononique équation de l'algèbre de boole une représentation électrique schéma développé à contacts Formatrice Imane BOUROUS CTDI C TRI A TRI B Sommaire Sommaire Introduction Généralités et Dé ?nitions Fonction de base ET OU OU exclusif Logique combinatoire Fonction NON ou NO Fonction OU ou OR Fonction ET ou AND Fonction OU EXCLUSIF ou XOR Résumé des propriétés Théorème de MORGAN Complément d'une somme logique Complément d'une somme logique FONCTIONS LOGIQUES Table de vérité Formes canoniques d'une fonction logique Équivalence entre la table de vérité et forme canonique Table de vérité Simpli ?cation des fonctions logiques - Tableau de KARNAUGH Résolution d ? un problème Formatrice Imane BOUROUS CTDI C TRI A TRI B Introduction De nombreux dispositifs électroniques électromécanique mécanique électrique pneumatique etc fonctionnement en TOUT ou RIEN Ceci sous-entend qu ? ils peuvent prendre états Exemple ? arrêt marche ? ouvert fermé ? enclenché déclenché ? avant arrière ? vrai faux ? conduction blocage Pour ces raisons il est beaucoup plus avantageux d'employer un système mathématique n'utilisant que valeurs numériques exemple O ou pour étudier les conditions de fonctionnement de ces dispositifs C'est le système BINAIRE L'ensemble des règles mathématiques qui pourront être utilisées avec des variables ne pouvant prendre que valeurs possibles représente L'ALGÈBRE DE BOOLE Généralités et Dé ?nitions Variable logique ou variable binaire La variable logique est une grandeur qui peut prendre valeurs qui sont repérées habituellement ou Cette variable binaire se note par une lettre comme en algèbre Exemple a b x Physiquement cette variable peut correspondre à l ? un des dispositifs cités ci-dessus dont les états représentent les valeurs possibles