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Cours programmation non lineaire

Ecole Supérieure PRivée d'Ingénierie et Technologies Spécialité Mathématiques Élaboré par Riahi Mohamed Hédi Support pédagogique Programmation Non Linéaire CContents Rappel sur les propriétés topologique de Rn Espace Rn Notion de distance dans Rn Norme sur Rn Notions topologiques associées à une norme FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES Introduction Fonctions de plusieurs variables C Dé nition et exemples C Dé nition Exemples Représentation graphique Limite d'une fonction de Rn dans R C Dé nition Exemples et applications Continuité d'une fonction de Rn dans R C Dé nition B Fonctions di érentiables Dérivées partielles gradient et matrice jacobienne Dérivée suivant un vecteur-Dérivée directionnelle Dérivées partielles d'ordre supérieur Optimisation des fonctions de plusieurs variables Motivations Notions sur la convexité Ensemble convexe Fonction convexe Exemples de problèmes d'optimisation Résultats d'existence et d'unicité Existence Unicité Optimisation sans contrainte ii CCONTENTS iii Condition d'optimalité du premier ordre Condition d'optimalité du second ordre Optimisation avec contrainte Contraintes en égalité Contraintes en égalité et en inégalité Algorithmes d'optimisation Introduction Algorithme Méthode du gradient Mohamed Hédi Riahi CChapter Rappel sur les propriétés R topologique de n Sommaire Espace n R Notion de distance dans Rn Norme sur Rn Notions topologiques associées à une norme CR ESPACE N Espace Rn On désigne par Rn n ?? N ? l'ensemble de tous les n-uples x x xn o? xi i n sont des nombres réels Ainsi Rn x x xn xi ?? R ??i ?? n ? Rn est un R espace vectorielle dont la base canonique est e e en avec e e et en ? Si X x x xn ?? Rn et Y y y yn ?? Rn alors X Y x y x y xn yn ?? Rn ?? ? ?? R ? X ?x ?x ?xn Notion de distance dans Rn on appelle C distance sur un ensemble E de Rn une application dé nie de E ? E à valeurs dans R notée d qui à tout couple x y ?? E ? E fait correspondre un réel C positif ou nul d x y véri ant d x y SSi x y d x y d y x ?? x y ?? E d x y ? d x z d z y ?? x y z ?? E Exemple E R et d x y x ?? y est une distance sur R Remarque Sur un même ensemble E peuvent être C dé nies plusieurs distnaces Norme sur Rn On appelle norme sur Rn C toute application N Rn ? R x ? N x véri ant N x ? ?? x Rn ?? ? ?? R ??x ?? Rn N ?x ? N x N x y ? N x N y ??x ?? Rn et ??y ?? Rn Remarque Une norme sur Rn est souvent noté Mohamed Hédi Riahi C NOTIONS TOPOLOGIQUES ASSOCIÉES À UNE NORME Exercice Montre que ??x y ?? Rn on a Rn ? R x ? x x ?? y ? x y Exemples des normes sur Rn