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Cours1 biof aire Chapitre Somm Rudiments de la logique L ? objet des mathématiques porte sur l ? étude d ? assertions souvent relatives à des objets abstraits équations ?gures géométriques etc qui peuvent être soit vraies soit fausses ou encore ni l ? un

aire Chapitre Somm Rudiments de la logique L ? objet des mathématiques porte sur l ? étude d ? assertions souvent relatives à des objets abstraits équations ?gures géométriques etc qui peuvent être soit vraies soit fausses ou encore ni l ? un ni l ? autre Le but du jeu est de déterminer des propositions vraies utiles en pratiques pour la résolution de problèmes ou encore simplement esthétiquement belles pour le plaisir de la pensée Pour ce faire il est souvent crucial de déterminer les liens logiques entre plusieurs assertions ces liens étant à la base de toutes les démonstrations faites en mathématiques Cette mise en route à pour but de ?xer quelques éléments de vocabulaire concernant les bases de raisonnement qui seront utilisées toute l ? année I Proposition et fonction propositionnelle Proposition Dé ?nition I Une proposition est un enoncé mathématique auquel on peut attribuer la valeur de vérité vrai V ou faux F mais jamais les deux à la fois C ? est le principe du tiers-exclu Exemples La proposition ? ? est vraie ?? La proposition ? ? est fausse La proposition Pour tout réel x on a x ?? x ?? x x est vraie Fonction propositionnelle Dé ?nition I Une fonction propositionnelle est un énoncé mathématique dépendant de variables x y n tel que quand on remplace chacune de ces variables par un élément donné d ? un ensemble on obtient une proposition Exemples L ? énoncé suivant P n n est un multiple de est une fonction propositionnelle car il devient une proposition quand on donne une valeur à n P est un mult de ? est une proposition vraie P est un mult de ? est une proposition fausse L ? enonce suivant P x y x y est un une fonction propositionnelle a deux variables P est une proposition vraie P est une proposition fausse CRemarque Une proposition peut s ? interprèter comme une fonction propositionnelle sans variable c ? est-à-dire comme une fonction propositionnelle toujours vraie ou toujours fausse II Les connecteurs logiques Les connections logiques entre di ?érentes propositions sont à la base de tous les raisonnements mathématiques elles permettent de créer de nouveaux propositions à partir de propositions P Q Operation sur les propositions a Négation Dé ?nition II Soit P une proposition La négation de la proposition P est la proposition noté non P qui est vraie lorsque P est fausse est fausse lorsque P est vraie P On résume ceci dans la table de vérité V V nonP F F Exemples ?? ?? La proposition P ? ? est une proposition vraie V ?? ?? La négation de P est dé ?nie par non P ? ? qui est une proposition fausse F ?? ?? La négation de la proposition fausse ?? Q est la proposition vraie Q b Conjonction Dé ?nition II Soient P et Q deux propositions La proposition P et Q ? appelé conjonction de P et de Q est une proposition