Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Du fini a linfini pdf DU FINI À L ? INFINI Le parti pris pour dé ?nir la notion de ?ni ? est le point de vue na? f de l ? enfant qui dénombre une collection d ? objets Dé ?nitions Deux ensembles sont dits équipotents lorsqu ? il existe au moins une biject

DU FINI À L ? INFINI Le parti pris pour dé ?nir la notion de ?ni ? est le point de vue na? f de l ? enfant qui dénombre une collection d ? objets Dé ?nitions Deux ensembles sont dits équipotents lorsqu ? il existe au moins une bijection de l ? un sur l ? autre Un ensemble E est dit ?ni lorsqu ? il est vide ou lorsqu ? il existe un entier naturel n tel que E soit équipotent à l ? ensemble n Un ensemble est dit in ?ni lorsqu ? il n ? est pas ?ni Un ensemble est dit dénombrable lorsqu ? il est équipotent à Notation Nous noterons n l ? ensemble n Remarques Soit E et F deux ensembles équipotents et f une bijection de E sur F Alors f ?? est une bijection de F sur E Le point de vue adopté pour dé ?nir un ensemble ?ni est le point de vue intuitif utilisé pour dénombrer les doigts de la main gauche Les questions qui se posent à la suite de ces dé ?nitions sont les suivantes ?? l ? ensemble E étant un ensemble ?ni et non vide l ? entier n tel que E soit équipotent à n est-il unique ou en langage na? f va-t-on obtenir le même résultat en comptant les éléments de E de diverses façons ?? un ensemble dénombrable est-il in ?ni ?? un ensemble équipotent à un ensemble in ?ni est-il lui même in ?ni La réponse intuitive à chacune de ces trois questions est oui Les propriétés qui suivent et qui découlent des dé ?nitions adoptées en apportent la preuve mathématique Propriété Soit deux entiers naturels non nuls n et p Si n est équipotent à p alors n p Il su ?t en fait d ? établir que si n est équipotent à p alors n ? p En e ?et si n est équipotent à p alors p est équipotent à n La proposition permet donc d ? écrire à la fois n ? p et p ? n c ? est à dire que n p Pour démontrer cette proposition nous allons utiliser un raisonnement par récurrence sur l ? entier n y La proposition est évidente pour n puisque p ? y Supposons cette proposition vraie au rang n et considérons un entier naturel non nul q tel que n soit équipotent à q On considère une bijection f de n sur q et on désigne par m l ? image de n par f Deux cas sont alors à envisager er cas m q La restriction f de f à l ? ensemble n est une bijection de n sur q ?? et d ? après l ? hypothèse de récurrence n ? q ?? Par conséquent n ? q IX - Annexes Du ?ni à l ? in ?ni C èmecas m ?? q On désigne par A l ? ensemble q m ensemble q