Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Dynamique des ensembles de julia

CFiche Synoptique Dynamique des ensembles de Julia Théorème de Fatou La dynamique consiste à s'intéresser aux itérés successifs d'une valeur par une fonction régulière nous nous sommes intéressés en particulier aux polynômes complexes de degré Quand la suite des itérés reste bornée on dit que le point appartient à l'ensemble de Julia rempli du polynôme ou bassin d'attraction Le problème est de déterminer cet ensemble je me suis intéressé à sa nature topologique Il est apparu assez rapidement dans nos recherches qu'un résultat important à ce sujet était le théorème de Fatou selon que appartient ou non à l'ensemble de Julia rempli l'ensemble de Julia B rempli a une nature topologique très di érente On peut donc gr? ce à ce théorème prévoir l'allure globale de l'ensemble de Julia rempli en s'intéressant à un unique point Ayant trouvé une ébauche de démonstration par Douady il a fallu s'intéresser à la théorie des revêtements pour la E comprendre ce qui a motivé l'étude de l'ouvrage La di culté était de ramener les notions présentées à des concepts accessibles avec le programme de classe préparatoire Dans le cas o? n'appartient pas à l'ensemble de Julia rempli Douady conclut en utilisant une métrique de type transformation conforme Cependant malgré l'étude de je n'ai pas réussi à m'approprier cette notion j'ai donc admis le résultat qui en découlait La C quasi-totalité de la démonstration a donc été rendue accessible en dé nissant précisément les objets utilisés ce qui nécessite d'acquérir la théorie mathématique qui s'appuie dessus et en explicitant les points jugés évidents qui le sont rarement à notre niveau Ce résultat peut éventuellement être généralisé aux polynômes de degré supérieur au moins de façon partielle gr? ce à la généralité des résultats que nous avons démontrés sur les revêtements CJulia Dynamique des ensembles de Fatou Théorème de Aymeric Bouzy Introduction Fatou Julia Le théorème de permet de conna? tre la nature topologique de l'ensemble de Fatou rempli des fonctions de la variable complexe de la forme z ? z c L'objectif est de démontrer le théorème de énoncé p Dans les trois premières parties C je donne des dé nitions et certains théorèmes utiles concernant la connexité les revêtements et l'indice d'un lacet par rapport à un point On trouvera en annexe la démonstration des résultats préliminaires Connexité Proposition Soit X un espace topologique Les assertions suivantes sont équivalentes i ii iii iv il n'existe pas de partition de X en deux ouverts non vides il n'existe pas de partition de X en deux fermés non vides les ensembles ouverts et fermés de X sont X et ? les applications continues de X dans sont constantes C C Dé nition Un espace X véri ant l'une des propriétés précédentes est appelé connexe Proposition Les connexes par arcs sont connexes Théorème Pour toute suite décroissante Un n ??N de connexes compacts non vides d'un espace métrique Un est connexe compacte non vide n ??N C Dé nition Un espace X est localement connexe par