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Godel gibbs lecture 1951 Quelques théorèmes de base relatifs aux fondements des mathématiques et leurs implications philosophiques par Kurt G? del La recherche sur les fondements des mathématiques a durant ces dernières décennies produit quelques résultat

Quelques théorèmes de base relatifs aux fondements des mathématiques et leurs implications philosophiques par Kurt G? del La recherche sur les fondements des mathématiques a durant ces dernières décennies produit quelques résultats qui me paraissent dignes d ? intérêt non seulement en eux- mêmes mais aussi en ce qui concerne leurs implications pour les problèmes philosophiques traditionnels quant à la nature des mathématiques Les résultats eux-mêmes je crois sont assez largement connus mais je pense toutefois qu ? il est utile d ? en présenter une nouvelle fois les grandes lignes spécialement compte tenu du fait que gr? ce au travail de nombreux mathématiciens ils ont pris une forme nettement plus satisfaisante que celle qu ? ils avaient à l ? origine La plus grande amélioration a été rendue possible gr? ce à la dé ?nition précise du concept de procédure ?nie qui joue un rôle décisif dans ces résultats Il y a plusieurs voies di ?érentes pour arriver à une telle dé ?nition qui mènent cependant toutes au même concept La voie la plus satisfaisante selon moi est de réduire le concept de procédure ?nie à celui d ? une machine dotée d ? un nombre ?ni de parties ainsi que l ? a fait le mathématicien britannique Turing En ce qui concerne les conséquences des résultats en question je ne pense pas qu ? ils aient été discutés adéquatement ou même simplement remarqués Les résultats métamathématiques que j ? ai en tête sont tous axés sur ou pourrait-on même dire sont seulement di ?érents aspects d ? un fait fondamental qui pourrait être appelé l ? incomplétude ou l ? inexhaustivité des mathématiques On rencontre ce fait dans sa forme la plus simple lorsque la méthode axiomatique est appliquée non pas à quelque système hypothético-déductif comme la géométrie o? les mathématiciens ne peuvent asserter que la vérité conditionnelle des théorèmes mais aux mathématiques à proprement parler c ? est-à-dire au corps de ces propositions mathématiques qui ont un sens absolu sans recours à aucune hypothèse supplémentaire Il doit exister des propositions de ce type car sinon il ne pourrait exister non plus aucun théorème hypothétique Par exemple certaines implications de la forme si tels et tels axiomes sont supposés alors on a tels et tels théorèmes doivent être nécessairement vraies en un sens absolu De la même manière tout théorème de la théorie des nombres ?nitaire tel que est sans aucun doute de ce type Evidemment la t? che qui consiste à axiomatiser les mathématiques proprement dites di ?ère de la conception de l ? axiomatique qui a eu cours jusqu ? à présent puisque les axiomes ne sont pas arbitraires mais doivent être des propositions mathématiques correctes et en outre évidentes sans preuve on ne peut échapper à la nécessité de supposer certains axiomes ou règles d ? inférence évidents sans preuve parce que les preuves doivent avoir un point de départ Néanmoins il existe des vues largement divergentes quant à l ? extension des mathématiques proprement