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Mines1516 exercices corriges

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D ? OPTIMISATION EXERCICE I Calcul di ?érentiel Montrer que la fonction f R ? R dé ?nie par f x y y x si x y si x admet des dérivées partielles au point mais n ? est pas continue en Soit E un R-espace vectoriel muni d ? un produit scalaire Montrer la continuité puis la di ?érentiabilité et calculer la di ?érentielle de l ? application produit scalaire ? E ? R dé ?nie par x y x y pour tous x y ?? E Soit A ?? Mn m R avec n m ?? N ? a Montrer que l ? application J Rm ? R dé ?nie par J X AX o? la notation désigne la norme euclidienne de Rn est di ?érentiable et calculer sa di ?érentielle b Soit f ?? C R Montrer que l ? application G Rm ? R dé ?nie par G X f J X est di ?érentiable et calculer sa di ?érentielle Corrigé de l ? exercice On a pour tout t ?? R ? f t ?? f t ce qui montre que lim t ? f t ?? f t donc f admet une dérivée en selon le vecteur et que ? f ? x De même f t t pour tout t ?? R donc f est dérivable en selon le vecteur et ? f ? y L ? application étant bilinéaire sa continuité sur E est équivalente à sa continuité en De plus d ? après l ? inégalité de Cauchy-Schwarz x y ? x y pour tous x y ?? E o? x x x Étudions la di ?érentiabilité de Fixons x y ?? E et h k ?? E On a x h y k x y x k h y h k donc si L h k x k h y on a x h y k ?? x y ?? L h k h k ? h k o N h k en prenant par exemple N h k max h k De plus L est linéaire et continue car L h k ? x k h y ? N x y N h k ?? ?? ?? ?? ?? ? N h k ? en vertu de l ? inégalité de Cauchy-Schwarz On en déduit simultanément que est di ?érentiable et que d x y h k L h k x k y h a L ? application X ?? Rn ? X est C ? donc di ?érentiable sur Rn car polynômiale L ? ap- plication X ? AX est linéaire donc di ?érentiable Par conséquent l ? application J est di ?érentiable en tant que composée de fonctions qui le sont De plus pour tout X ?? Rm on a J X AX AX A AX X avec A A ?? Sm R On en déduit que la di ?érentielle de J en X est l ? application linéaire dX J h ?? Rm