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Nl cm7 Introduction La logique est utile dans beaucoup de domaines Conception de circuits Preuves de programmes Programmation logique Simulation de raisonnements en intelligence arti ?cielle Nous n ? utiliserons que le calcul des propositions bien que lim

Introduction La logique est utile dans beaucoup de domaines Conception de circuits Preuves de programmes Programmation logique Simulation de raisonnements en intelligence arti ?cielle Nous n ? utiliserons que le calcul des propositions bien que limité c ? est la première étape dans la dé ?nition de la logique et du raisonnement Le calcul des prédicats qui englobe le calcul des propositions et qui permet une formalisation achevée du raisonnement mathématique ne sera pas abordé G Koep er Introduction Numération et Logique Calcul des propositions L - Une proposition est une af ?rmation du type il pleut ou On peut lui a ?ecter une valeur de vérité vrai ou faux Une proposition ne contient ni des variables ni des quanti ?cateurs Un prédicat est une proposition dont la valeur de vérité dépend de variables Par exemple ??L ? étudiant e XY habite à Paris ? est vrai ou faux en fonction de l ? étudiant En calcul des prédicats on utilise les quanti ?cateurs ??Tout étudiant e habite à Paris ? Le calcul des propositions traite du raisonnement sur les propositions Il dé ?nit les règles de déduction qui relient les propositions tout ceci indépendamment de leur contenu On ne traite que des valeurs booléennes vrai faux ou G Koep er Numération et Logique Calcul des propositions L - CSyntaxe et sémantique Dans les théories de la logique mathématique en particulier en calcul des propositions on considère deux aspects La syntaxe o? l ? on dé ?nit le langage du calcul des propositions par les règles d ? écriture des formules La sémantique qui détermine les règles d ? interprétation des formules On attribue des valeurs de vérité vrai faux aux propositions élémentaires et on explique comment les connecteurs se comportent vis-à-vis de ces valeurs de vérité On exprime souvent ce comportement par une table de vérité G Koep er Numération et Logique Calcul des propositions Exemple de syntaxe et sémantique L - On considère les phrases dans une langue La syntaxe ?xe les règles d ? écriture des phrases PHRASE SUJET VERBE COMPLÉMENT La sémantique permet l ? interprétation des phrases Exemples ??le chat boit son lait ? ??le fermier conduit un troupeau ? ??le lait boit son chat ? ??un troupeau conduit le fermier ? Une phrase dont la syntaxe est correcte n ? a pas nécessairement un sens G Koep er Numération et Logique Calcul des propositions L - CLes constituants du langage La syntaxe du calcul des propositions utilise Les variables propositionnelles ou propositions atomiques Notées p p ou p q r Les opérateurs ou connecteurs Ils permettent la construction de propositions plus complexes ?? ?? ? ou ?? ? ou ?? non et ou implique équivaut négation conjonction disjonction implication équivalence La ponctuation ?? ?? et ? ? les parenthèses permettent de lever les ambigu? tés Ces éléments constituent l ? alphabet du calcul propositionnel G Koep er Numération et Logique Calcul des propositions Les formules propositionnelles L - Gr? ce à cet alphabet on