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Nombre complexe Chapitre Le corps des nombres complexes-résumé PCSI Corps des nombres complexes Présentation On admet qu'il existe un ensemble possédant les propriétés suivantes Cet ensemble contient et on peut y prolonger les opérations usuelles en conse

Chapitre Le corps des nombres complexes-résumé PCSI Corps des nombres complexes Présentation On admet qu'il existe un ensemble possédant les propriétés suivantes Cet ensemble contient et on peut y prolonger les opérations usuelles en conservant leurs propriétés Cet ensemble contient un élément noté i véri ?ant i ? - Déf Cet ensemble est a ib a et b réels et ces éléments sont appelés nombres complexes Soit z z s'écrit de manière unique sous la forme z a ib avec a et b réels cette écriture est la forme algèbrique de z Vocabulaire Soit z a ib avec a b ?? a est la partie réelle de z on note a Re z b est la partie imaginaire de z on note b Im z Propriétés immédiates a ib a' ib' ?? a a' et b b' z z' ?? Re z Re z' et Im z Im z' z ?? Re z et Im z Interprétation géométrique On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal O u v qu'on quali ?e alors de plan complexe A tout nombre complexe z a ib on peut associer le point M de coordonnées a b le vecteur w a u b v z est appelé a ?xe de M ou de w selon le cas Si zA est l'a ?xe de A et zB l'a ?xe de B alors l'a ?xe de AB est zB-zA Déf Un imaginaire pur est un nombre complexe complexe dont la partie réelle est nulle L'ensemble des imaginaires purs est noté i z i ?? Re z ou encore i z Re z Interprétation géométrique Soit M z le point d'a ?xe z dans le plan complexe z ?? M z Ox z i ?? M z Oy est à la fois réel et imaginaire pur et c'est le seul Ainsi ??i Addition et multiplication dans Déf Soit z a ib et z' a' ib' deux nombres complexes La somme de z et de z' est z z' a a' i b b' Propriétés de l'addition dans est un loi interne est associative possède un élément neutre qui est tout nombre complexez a ib possède un opposé noté ??z et ??z -a - ib est commutative On résume ces propriétés en disant que est un groupe commutatif Remarques Re z z' Re z Re z' et Im z z' Im z Im z' N Véron juillet CRe -z -Re z et Im -z -Im z Déf la di ?érence z-z' est la somme z -z' PCSI Déf Soit z a ib et z' a' ib' deux nombres complexes Le produit de z et de z' est zz' a ib a' ib' aa'-bb' i ab' a'b Propriétés de la multiplication dans ? est un loi interne ? est associative ? possède un élément neutre qui est Tout nombre complexe non nul possède un inverse ? est commutative Remarque x est un groupe commutatif Propriétés de la multiplication dans suite x est distributive sur cad Pour tout