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Raisonnement Di ?érents types de raisonnement en mathématiques I Symboles logiques Les quanti ?cateurs Les quanti ?cateurs permettent de connaitre le domaine de validité d ? une propriété a Pour une propriété universelle Dé ?nition Pour énoncer une propri

Di ?érents types de raisonnement en mathématiques I Symboles logiques Les quanti ?cateurs Les quanti ?cateurs permettent de connaitre le domaine de validité d ? une propriété a Pour une propriété universelle Dé ?nition Pour énoncer une propriété universelle propriété vrai dans tous les cas on utilise le quanti ?cateur ? pour tout ? noté Remarque Il signi ?e ? pour tout ? ? quel que soit ? ou encore ? Tous ? Exemple Tout parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle Quel que soit x x ? est positif ou nul Tous les ans No? l est en décembre Remarque Le quanti ?cateur ? pour tout ? est souvent implicite Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange b Pour une propriété non universelle Dé ?nition Pour énoncer une propriété vrai sur des exemples mais qui n ? est pas universelle on utilise le quanti ?cateur ? il existe ? noté Exemple Il existe des réels x tels que x ? Il existe des années o? il ne neige pas Propriété Le contraire d ? une proposition avec ? pour tout ? est une proposition avec ? il existe ? Le contraire d ? une proposition avec ? il existe ? est une proposition avec ? pour tout ? CExemple Toutes les fenêtres sont fermés ?? Il existe au moins une fenêtre ouverte Il existe des losanges qui ne sont pas des carrés ?? Tout les carrés sont des losanges Connecteurs logiques a Conjonction Dé ?nition La conjonction logique de deux évènements représente le faite que deux évènements sont conjoints Dé ?nition La conjonction de deux propositions P et Q est vrai si les deux propositions sont simultanément vraies sinon elle est fausse Il est symbolisé par Table de vérité P Q Vrai Vrai Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux PQ Vrai Faux Faux Faux P Q PQ Dé ?nition L ? intersection de deux ensembles A et B est l ? ensemble des éléments appartenant à A et à B On note cette intersection A B b Disjonction Dé ?nition La disjonction logique de deux évènements représente le faite que deux évènements sont disjoints Dé ?nition La disjonction de deux propositions P et Q est vrai quand l ? une des propositions est vrai et est fausse quand les deux sont simultanément fausse Il est symbolisé par Table de vérité P Q Vrai Vrai Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux PQ Vrai Vrai Vrai Faux P Q PQ CDé ?nition L ? union de deux ensembles A et B est l ? ensemble des éléments appartenant à A ou à B On note cette intersection A B Implication Le principe même du raisonnement mathématique est l ? implication propriété directe un fait implique un autre une hypothèse implique une conclusion a Implication Dé ?nition L ? implication logique de deux évènements représente le faite que un évènement implique un autre évènement Dé ?nition L ? implication de deux propositions P et Q