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Relation binaire RELATIONS BINAIRES Le concept de relation est la base de toute la mathématique dont le but est d'étudier par observation et déduction raisonnement calcul et comparaison - des con ?gurations ou relations abstraites ou concrètes de ses obje

RELATIONS BINAIRES Le concept de relation est la base de toute la mathématique dont le but est d'étudier par observation et déduction raisonnement calcul et comparaison - des con ?gurations ou relations abstraites ou concrètes de ses objets nombres formes structures en cherchant à établir les liens logiques numériques ou conceptuels entre ces objets Dé ?nitions D Considérons deux ensembles non vides E et F cf chapitre de Théorie Des Ensembles non nécessairement identiques Si à certains éléments x de E nous pouvons associer par une règle mathématique précise R non ambigu? un élément y de F nous dé ?nissons ainsi une relation fonctionnelle de E vers F et qui s'écrit Ainsi de façon plus générale une relation fonctionnelle R peut être dé ?nie comme une règle mathématique qui associe à certains éléments x de E certains éléments y de F Alors dans ce contexte plus général si xRy nous disons que y est une image de x par R et que x est un antécédent ou pré-image de y L'ensemble des couples x y tel que xRy soit une assertion vraie forme un graphe ou une représentation de la relation R Nous pouvons représenter ces couples dans un repère adéquatement choisi pour faire une représentation graphique de la relation R Il s'agit d'un type de relations sur lequel nous reviendrons dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle et qui ne nous intéresse pas directement dans ce chapitre D Considérons un ensemble A non vide si nous associons à cet ensemble et à celui-ci uniquement des outils permettant de comparer les éléments le composant alors nous parlons de relation binaire ou relation de comparaison et qui s'écrit pour tout élément x et y composant A xRy Ces relations peuvent aussi être représentées sous forme graphique Dans le cas des opérateurs binaires classiques de comparaisons o? A est l'ensemble des nombres naturels relatifs rationnels ou réels cette forme graphique est représentée par une droite horizontale le plus souvent dans le cas de la congruence cf chapitre de Théorie des Nombres elle est représentée par des droites dans le plan dont les points sont donnés par la contrainte de la congruence Comme nous l'avons déjà dit il existe relations binaires fondamentales égal di ?érent de plus grand que plus petit que plus grand ou égal plus petit ou égal Mais nous verrons un peu plus loin que la dé ?nition rigoureuse des relations binaires permet donc de construire des outils plus abstraits comme par exemple la congruence bien connue par les élèves de petites classes et que nous étudierons dans le chapitre de Théorie des Nombres C ÉGALITÉS Il est fort di ?cile de dé ?nir la notion d'égalité dans un cas général applicable à toute situation Pour notre part nous nous permettrons pour cette dé ?nition de nous inspirer du théorème d'extensionalité de la théorie des ensembles que nous verrons plus tard Dé ?nitions D Deux éléments sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes valeurs L'égalité est décrite par le