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Special concours CONCOURS SPÉCIAL TI lère épreuve CONCOURS SPtCIAL T' PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DURÉE heures -COEFFICIE NT La qualité de la rédaction et de la présentation la clarté et la précision des raisonnementsconstitueronfun élément importan

CONCOURS SPÉCIAL TI lère épreuve CONCOURS SPtCIAL T' PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DURÉE heures -COEFFICIE NT La qualité de la rédaction et de la présentation la clarté et la précision des raisonnementsconstitueronfun élément importantpour l'appréciationdes copies L'usage des instruments de calcul est autorisé NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLhIE Gtant donnés un nombre réel a O et un entier r O on note E r resp E l'espace vectoriel des fonctions a valeurs complexes de classe C' resp C sur O a On note Fr resp F le sous-espace vectoriel constitué des fonctionsf telles que pour tout entier k E O r Dkf O O resp telles que pour tout entier k O Dkf O Les espaces Eoet Fo sont plus simplementnotés E et F On note P l'opérateur de primitivation qui à tout élément f de E associe l'élément Pfde E dé ?ni sur I ' O a par la relation Pf x f t dt Pour tout entier r b O l'opérateur Prs'appelle primitivation d'ordre r on convientque Po oh désignel'identité L'objectif du problème est d'étudier les opérateursde primitivationP d'ordre a réel non entier ou plus généralement complexe ce qui fait l'objet des parties III et IV Dans les deux premières parties on établit des propriétés préliminaires concernant les fonctions eulériennes Gamma et Bêta l IlJTlE DE LA FONCTION GAMMA On note U l'ouvert de C constituédes nombres complexes z x iy tels que x O L'objectif de cette partie est d'étudier la fonction r qui à tout élément z de U associe Propriétésde t Pour tout nombre complexe z x iy et pour tout nombre réel t O on pose f Z eZ ' a Soit cp une fonction a valeurs complexes de classe Cl sur O a Prouver que t eV ' est de classe Cl sur O et que D eq eV Dcp On écrira cp sous la forme cp v ix O? v et x sont à valeurs réelles b En déduire que pour tout nombre complexez t f est de classe C' sur O et que d -dt ? ? ? ztz-' c En déduire aussi que pour tout nombre complexe z et pour tout nombre réel t O la fonction u Pz estdeclasseC'sur - etque d -d uY z zlntP C CONCOURS SPÉCIAL T' lère épreuve d Prouver que pour tout nombre complexez x iy t'l P e Soient c et d des nombres réels tels que O c d et B la bande verticale constituée des Cléments z de U tels que c Q x d Gtablir pour tout élément z de Bc d les majorationssuivantes I f z d tc si t E O l t z l Q r' si t E l a Déjinition et éqquationfonctionnellede lafonction Gamma a Gtablir que pour tout élément z x iy de U l'intégrale est absolument convergente On découpera O a en O et Montrer que pour tout élément z de U r Q r x b Prouver que pour tout élément t