Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Gardies LE NOMBRE ENTIER ENTRE SYNTAXE ET SEMANTIQUE Jean-Louis GARDIES J ? essaierai d ? éclairer d ? emblée les deux termes selon les goûts techniques ou prétentieux dont le souci de faire bref encombre mon titre Syntaxe vient du verbe grec qui désigne

LE NOMBRE ENTIER ENTRE SYNTAXE ET SEMANTIQUE Jean-Louis GARDIES J ? essaierai d ? éclairer d ? emblée les deux termes selon les goûts techniques ou prétentieux dont le souci de faire bref encombre mon titre Syntaxe vient du verbe grec qui désigne l ? action de disposer ou de composer ensemble sémantique vient du verbe grec marquer d ? un signe ou signi ?er L ? originalité de la conception grecque des mathématiques dont nous avons hérité tient beaucoup à ce qu ? elles se présentent sous une forme proprement syntaxique On y dispose d ? abord les propositions admises comme indémontrables qu ? elles soient considérées comme évidences ou comme conventions on y introduit aussi des dé ?nitions dont il faudra la plupart du temps admettre qu ? elles-mêmes renvoient en ?n de compte à leur tour à des termes premiers indé ?nis Si la construction syntaxique est réussie c ? est que les inférences qui y ont présidé sont parfaitement légitimes assurant que l ? ensemble n ? est ni moins ni plus vrai que les assises sur lesquelles nous avons appuyé ses fondations Comme chacun sait cet ensemble resterait tout aussi cohérent et les conditions de sa vérité resteraient aussi peu discutables si nous remplacions certains des termes premiers indé ?nis dont il eût été di ?cile que nous nous passions par des chaises des tables ou des chopes de bière pour reprendre la boutade de Hilbert Peut-être faut-il attribuer cette relative primauté logique habituellement reconnue à la syntaxe sur la sémantique dans nos disciplines déductives à une certaine prédominance du modèle de la géométrie dont on comprendra peu à peu que notre obligation de postuler les ultimes fondements tient moins à quelque immédiate évidence qu ? à leur nature logiquement arbitraire Bien que les ultimes fondements qui sont à la base de l ? arithmétique soient évidemment beaucoup moins arbitraires que ceux de la géométrie il semble néanmoins si l ? on observe les livres proprement arithmétiques des Éléments d ? Euclide que chez l ? auteur grec la science des propriétés du nombre entier se soit elle-même élaborée sur ce même mode qu ? on dit aujourd ? hui hypothético-déductif À cet égard j ? avais déjà fait observer dans une étude précédente que l ? axiomatique sur laquelle s ? appuyait l ? arithmétique euclidienne était elle-même d ? une amplitude moindre que celle sur laquelle devait s ? appuyer la géométrie J ? avais essayé de montrer d ? abord que les recours que des commentateurs avaient cru pouvoir déceler dans les livres arithmétiques des Éléments VII VIII et IX à certains résultats obtenus dans les livres antérieurs en particulier dans le livre II et le livre V n ? étaient nullement fondés et que ces livres arithmétiques ne faisaient non plus aucun appel à ce que l ? auteur euclidien avait caractérisé comme ses postulats Mon étude aboutissait à cette conclusion que l ? axiomatique de l ? arithmétique euclidienne reposait