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Chap3 proba CHAPITRE VARIABLES ALEATOIRES Variable Aléatoire Exemple introductif Dans un jeu on lance deux fois une pièce de monnaie on gagne en dirhams le nombre de fois o? face est sorti Mais si pile sort deux fois vous versez à l ? organisateur dirhams

CHAPITRE VARIABLES ALEATOIRES Variable Aléatoire Exemple introductif Dans un jeu on lance deux fois une pièce de monnaie on gagne en dirhams le nombre de fois o? face est sorti Mais si pile sort deux fois vous versez à l ? organisateur dirhams On sait que l ? ensemble W traduisant l ? expérience est W PP PF FP FF À l ? issue de PP on associe le réel ?? à l ? issue de PF ou FP on associe à l ? issue FF on associe Considérons la fonction qui à chaque événement élémentaire associe un réel Dans cet exemple on note X le gain du joueur cette fonction X PP - X PF X FP X FF ? X est appelé variable aléatoire dé ?nie de W dans - CVariable aléatoire Dé ?nition On appelle variable aléatoire une application X dé ?nie sur un espace de probabilité ? P et à valeurs réelles La fonction de répartition F d'une variable aléatoire X est la fonction de IR dans IR dé ?nie pour tout réel x par F x P X ? x La variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée par le résultat d ? une expérience aléatoire Cette valeur appartient à un ensemble V ? Si V est un ensemble discret la v a est dite discrète ?? ?? n ?? ?? ?? n ? n ? IN ? Si V est un ensemble continu la v a est dite continue ??a b ? a b ? IR Exemples ? Somme des points obtenus en lançant dés ? Temps mis pour traiter une transaction à un guichet d ? agence bancaire Proposition Soient X une v a F sa fonction de répartition alors ??x ?? IR ? F x ? Le comportement à l ? in ?ni lim F x ? et lim F x ? La fonction F esx t c ?? roissante x ? La fonction F est continue à droite i e Exercice ? x ? IR lim F x ? F a x a ? Soit X une variable aléatoire et soit F sa fonction de répartition Pour a et b réels a b exprimer en fonction de F P X a P a X ? b P X CRemarque Cet exercice montre que la connaissance de la fonction de répartition F d'une variable aléatoire X permettra de calculer pour n'importe quel intervalle I de IR la probabilité P X I On peut démontrer qu'elle permet aussi de calculer la probabilité P X B pour n'importe quel sous- ensemble B de IR On dit en que la fonction de répartition de X détermine la loi de probabilité de X Distribution de probabilités d ? une variable aléatoire discrète Loi de probabilité Soit x x ? xn l ? ensemble des valeurs possibles de la variable X Notons par pi p xi P X xi la probabilité pour que la variable X prenne la valeur xi On décrit la distribution