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Cours 1es loi binomiale et applications

Première ES Cours Loi binomiale et applications I Loi de Bernoulli et loi binomiale Loi de Bernoulli Soit une expérience aléatoire présentant deux issues l ? une S que l ? on appelle succès ? et l ? autre S appelée échec ? On note p la probabilité de succès et q celle d ? échec avec q ?? p Cette expérience aléatoire s ? appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p Dé ?nition ? La variable aléatoire qui prend la valeur en cas de succès et en cas d ? échec est appelée variable aléatoire de xi Bernoulli P X xi - p p ? La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p Propriété Soit X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors E X p En e ?et E X ? ?? p ? p p Schéma de Bernoulli et loi binomiale Dé ?nitions ? L ? expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s ? appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p ? La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p On la note n p Exemple On lance un dé équilibré fois de suite et on s ? intéresse au nombre X de fois o? l ? on obtient la face La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès c ? est-à-dire le nombre de fois que l ? on obtient la face suit la loi binomiale de paramètres n et p notée F EB F EDF EC F F F F F F Loi binomiale pour n et n On peut modéliser la répétition de ces expériences par un arbre pondéré p S Cas n P X P S S q? q q ? S p q S P X P S S P S S pq pq pq P X P SS p ? p S q S q S Loi de probabilité de B p avec q ?? p xi P X xi q ? pq p ? CPremière ES p S p q p q S q Cours Loi binomiale et applications Cas n p S q p S q p S q p S q S S S S S S S S P X P S S S q? q? q q P X P S S S P S S S P S S S p? q? q q? p? q q? q? p pq ? P X P SS S P S S S P S SS p? p? q p? q? p q? p? p p ?q P X P SSS p? p? p p Loi de probabilité de p avec q ?? p xi P X xi q pq ? p ?q p II Coe ?cients binomiaux et