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Cours denombrement 1 Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI DÉNOMBREMENT Notre objectif est ici purement pratique ?? APPRENDRE À COMPTER Nous omettrons pour cette raison la plupart des démonstrations de ce chapitre souvent dif ?ciles conformément au

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI DÉNOMBREMENT Notre objectif est ici purement pratique ?? APPRENDRE À COMPTER Nous omettrons pour cette raison la plupart des démonstrations de ce chapitre souvent dif ?ciles conformément au programme de MPSI CARDINAL D ? UN ENSEMBLE FINI Dé ?nition-théorème Ensemble ?ni in ?ni cardinal d ? un ensemble ?ni Soit E un ensemble ? On dit que E est ?ni s ? il est vide ou si pour un certain n ?? ? il existe une bijection de l ? ensemble n sur E On dit dans le cas contraire que E est in ?ni ? Si E est ?ni non vide l ? entier n de la dé ?nition précédente est unique appelé le cardinal de E ou nombre d ? éléments de E et noté E ou card E ou E Par convention l ? ensemble vide est de cardinal Exemple Pour tous m n ?? avec m n l ? ensemble m n est ?ni de cardinal n ?? m En e ?et La fonction k ?? ? k m ?? est bijective de n ?? m sur m n de réciproque k ?? ? k ?? m Théorème Équipotence et cardinal Soient E et F deux ensembles Si E est ?ni et s ? il existe une bijection de E sur F alors F est ?ni et E F Démonstration Dans le cas o? E est non vide nous pouvons nous donner une bijection f de E sur E et une bijection g de E sur F L ? application g f est alors bijective de E sur F donc d ? une part F est ?ni mais d ? autre part F E par unicité du cardinal Théorème Parties d ? un ensemble ?ni Soient E un ensemble ?ni et A une partie de E Alors A est ?nie et A E avec égalité si et seulement si A E En pratique Pour montrer que deux ensembles FINIS A et B sont égaux au lieu de montrer que A ? B et B ? A on peut se contenter de montrer gr? ce au théorème précédent que A ? B et A B Théorème E ?et d ? une application sur le cardinal Soient E et F deux ensembles et f E ?? ? F une application i Si f est injective et si F est ?ni alors E aussi est ?ni et E F avec égalité si et seulement si f est bijective ii Si f est surjective et si E est ?ni alors F aussi est ?ni et F E avec égalité si et seulement si f est bijective iii Si E et F sont FINIS DE MÊME CARDINAL f est bijective ? ?? f est injective ? ?? f est surjective Explication ? Dire que f est injective c ? est dire que deux points distincts de E sont envoyés par f sur deux points distincts de F i e que f E est comme une