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Devoir maison 4 a rendre le 16 10 20

MPSI D E ? Le but de l ? exercice est d ? obtenir une formule pour Arctan x Arctan o? x sont deux réels Question préliminaire montrer que Arctan ?? Arctan et Arctan ?? ?? ?? ont la même tangente Pourquoi sont-ils di érents I Première méthode une preuve trigonométrique Pour a ?? ?? ? ? donner une expression de cos a en fonction de tan a En déduire que pour tout x ?? R cos Arctan x ?? x Prouver alors que pour tout x ?? R sin Arctan x ?? x x Montrer que ?? x ?? R cos Arctan x Arctan ?? ?? x x En déduire que pour tous réels x tels que x Arctan x Arctan ?? ?? ? ? ?? ? ? Simpli ?er alors pour x tan Arctan x Arctan Premier cas on suppose que x En utilisant la question montrer que Arctan x Arctan ?? ?? ? ? En déduire alors que Arctan x Arctan Arctan x ??x Second cas on suppose à présent que x et x Montrer que Arctan x Arctan ?? ? ? et en déduire que Arctan x Arctan Arctan x ??x ? Troisième cas en vous inspirant de la question précédente donner une formule reliant Arctan x Arctan à Arctan x ??x dans le cas o? x et x Si x et sont deux réels tels que x simpli ?er Arctan x Arctan à l ? aide d ? un résultat du cours II Seconde méthode avec du calcul di érentiel Cette partie est facultative On considère à présent ?? R ? ?xé et on note la fonction x ? Arctan x ??x ? Déterminer le domaine de dé ?nition D de Montrer que est dérivable sur D et montrer que pour tout x ?? D x x Retrouver alors les résultats des questions et III Bonus la formule de Machin Pour x ?? exprimer Arctan x sous forme d ? une arctangente En déduire que Arctan Arctan MPSI LC ?? C Prouver alors la formule de J M ?? ? Arctan ?? Arctan Cette formule d ? apparence anecdotique a en fait une importance historique puisque couplée à une formule qui permet le calcul e cace de valeurs approchées des arctangentes elle a permis dès le calcul de décimales de ? Jusqu ? au début du XXème siècle cette formule et ses variantes formaient la meilleure solution pour le calcul des décimales de ? E Partie I Un calcul de somme Pour tout n ?? N ? on pose Sn n k k n k ?? k ?? et Hn n k k Prouver que pour tout n ?? N ? Sn ?? Sn n k k n k ?? n k ?? k ?? Pour n k ?? N ? N ? exprimer k n k ?? en fonction de n k Montrer alors que pour tout n ?? N ? Sn ?? Sn n En déduire sans récurrence que pour tout n ??